2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.5　椭　圆

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§8.5椭圆考试要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．知识梳理1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝ca(0e1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(1)当P为短轴端点时，θ最大，12FPFS△最大．(2)12FPFS△＝12|PF1||PF2|sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋|PF2|22＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)y2m2＋x2n2＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．(×)(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)教材改编题1．椭圆x216＋y225＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为()A．6B．3C．4D．2答案A解析由椭圆方程x216＋y225＝1，得a2＝25，即a＝5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，即点P到下焦点的距离为6.2．已知椭圆C：x2a2＋y24＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.13B.12C.22D.223答案C解析由已知可得b2＝4，c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，所以a＝22，则离心率e＝ca＝22.3．若椭圆C：x24＋y23＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君A．3B．2＋3C．2D.3＋1答案A解析由题意知a＝2，b＝3，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.题型一椭圆的定义及其应用例1(1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．双曲线的一支答案A解析设动圆P的半径为r，又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，可得|PA|＋|PB|＝9，又92＝|AB|，则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆．(2)设点P为椭圆C：x2a2＋y24＝1(a2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．答案433解析方法一由题意知，c＝a2－4.又∠F1PF2＝60°，|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2a2－4，∴|F1F2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1||PF2|cos60°＝4a2－3|PF1||PF2|＝4a2－16，∴|PF1||PF2|＝163，∴12PFFS△＝12|PF1||PF2|sin60°＝12×163×32＝433.方法二由题意得b2＝4，∠F1PF2＝60°，∴12PFFS△＝4×tan30°＝433.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君延伸探究若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．解∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)＝4a2－16，又|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴12PFFS△＝12|PF1||PF2|＝4.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1(1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为()A.x212＋y216＝1(x≠0)B.x212＋y216＝1(y≠0)C.x216＋y212＝1(x≠0)D.x216＋y212＝1(y≠0)答案A解析∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又84，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，∴椭圆的方程为x212＋y216＝1(x≠0)．(2)(2023·郑州模拟)若F为椭圆C：x225＋y216＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为()A．4B．8C．10D．20答案D解析如图，设F1为椭圆C的左焦点，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|0，所以△ABF周长的最大值为20.题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例2(2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2),F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为()A.x264＋y260＝1B.y264＋x260＝1C.x216＋y212＝1D.y216＋x212＝1答案D解析由题意|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝23，焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为y216＋x212＝1.命题点2待定系数法例3已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－3，－2)，则该椭圆的方程为________．答案x29＋y23＝1解析设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，且m≠n)．将P1，P2代入方程，得6m＋n＝1，3m＋2n＝1，解得m＝19，n＝13.所以椭圆的方程为x29＋y23＝1.思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．跟踪训练2(1)“1k5”是方程“x2k－1＋y25－k＝1表示椭圆”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当方程x2k－1＋y25－k＝1表示椭圆时，必有k－10，5－k0，k－1≠5－k，所以1k5且k≠3，当1k5时，该方程不一定表示椭圆，例如当k＝3时，方程变为x2＋y2＝2，它表示一个圆，即“1k5”是“方程x2k－1＋y25－k＝1表示椭圆”的必要不充分条件．(2)(2022·南京师大附中模拟)已知过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点F1(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F1是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是()A.x26＋y25＝1B.x25＋y24＝1C.x23＋y22＝1D.x24＋y23＝1答案B解析如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1,0)，点C，F1是线段AB的三等分点，得C为AF1的中点，F1为BC的中点，所以x0＝1，所以1a2＋y20b2＝1，解得y0＝b2a，即A1，b2a，所以C0，b22a，B－2，－b22a，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君将点B的坐标代入椭圆方程得4a2＋b44a2b2＝1，即4a2＋b24a2＝1，结合a2－b2＝c2＝1，解得a2＝5，b2＝4，所以椭圆的标准方程是x25＋y24＝1.题型三椭圆的几何性质命题点1离心率例4(1)(2022·太原模拟)设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，过点F1且斜率为33的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为()A.3＋1B.3－1C.33D.22答案B解析因为过点F1且斜率为33的直线交椭圆于点P，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，则有∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°，因此，在△PF1F2中，∠F1PF2＝90°，令椭圆半焦距为c，于是得|PF1|＝|F1F2|cos30°＝3c，|PF2|＝|F1F2|·sin30°＝c，由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝(3＋1)c，则e＝ca＝23＋1＝3－1，所以椭圆E的离心率为3－1.(2)(2022·全国甲卷)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A.32B.22C.12D.13答案A解析设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，所以kAP·kAQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14.(*)因为点P在椭圆C上，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以m2a2＋n2b2＝1，得n2＝b2a2(a2－m2)，代入(*)式，得b2a2＝14，所以e＝ca＝1－b2a2＝32.思维升华求椭圆离心率或其范围的方法(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解．(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝1－b2a2求解．(3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.命题点2与椭圆有关的范围(最值)问题例5(1)(2023·长沙模拟)已知F1，F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为12，M为椭圆上一动点，则∠F1MF2的最大值为()A.π3B.π2C.2π3D.3π4答案A解析如图所示，当点M为椭圆的短轴顶点时，∠F1MF2最大，∴|MO|＝b，|MF2|＝a，|OF2|＝c，∴sin∠OMF2＝|OF2||MF2|＝ca＝12，∴∠OMF2＝π6，故∠F1MF2＝π3，所以∠F1MF2的最大值为π3.(2)如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1(b0)的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则PF→·PA→的最大值为________．公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君答案4解析由题意知a＝2，因为e＝ca＝12，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为x24＋y23＝1.设P点的坐标为(x0，y0)，－2≤x0≤2，－3≤y0≤3