2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.6　双曲线

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君§8.6双曲线考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则12PFFS△＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.5．与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)(2)方程x2m－y2n＝1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×)(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m0，n0)的渐近线方程是xm±yn＝0.(√)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.(√)教材改编题1．已知曲线C的方程为x2k＋1＋y25－k＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是()A．－1k5B．k5C．k－1D．k≠－1或5答案C解析若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则k＋10，5－k0，解得k－1.2．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是()A．y＝±12xB．y＝±2xC．y＝±22xD．y＝±2x答案C解析依题意知，双曲线y212－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝22，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±22x.3．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.答案17公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.题型一双曲线的定义及应用例1(1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为()A.x24－y25＝1(x2)B.x29－y25＝1(x3)C.x29＋y25＝1(0x2)D.x29＋y24＝1(0x3)答案A解析如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为x24－y25＝1(x2)．(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．答案23解析不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝12，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君∴|PF1|·|PF2|＝8，∴12FPFS△＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝23.思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．跟踪训练1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A．x2－y28＝1B.x28－y2＝1C．x2－y28＝1(x≤－1)D．x2－y28＝1(x≥1)答案C解析设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝26，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：x216－y29＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.答案4解析如图所示，延长F2M交PF1于Q，由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，即|QF1|＝8，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以|MO|＝12|QF1|＝4.题型二双曲线的标准方程例2(1)(2021·北京)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为()A．x2－y23＝1B.x23－y2＝1C．x2－3y23＝1D.3x23－y2＝1答案A解析由e＝ca＝2，得c＝2a，b＝c2－a2＝3a，则双曲线的方程为x2a2－y23a2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a2－33a2＝1a2＝1，解得a＝1，故b＝3，因此双曲线的标准方程为x2－y23＝1.(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y2＝1D．x2－y23＝1答案D解析由方程x2a2－y2b2＝1，得双曲线的渐近线方程为y＝±bax，不妨设A在直线y＝bax上，由△OAF是边长为2的等边三角形，可得c＝2，直线y＝bax的倾斜角为60°，即ba＝3，联立b＝3a，a2＋b2＝c2＝4，可得b＝3，a＝1，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君故双曲线的标准方程为x2－y23＝1.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为23，则双曲线的方程为()A.x24－y212＝1B.x212－y24＝1C.x23－y29＝1D.x29－y23＝1答案A解析易知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为ay＝±bx，由C的左焦点(－c,0)到其渐近线的距离是23，可得bca2＋b2＝b＝23，则b2＝12，由双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，得e＝ca＝2，又c2＝a2＋b2，解得a＝2，c＝4，则双曲线的方程为x24－y212＝1.(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是()A.x216－y29＝1B.x24－y2＝1C.x28－y29＝1D.x24－y23＝1答案D公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君解析由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上．设该双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则2a＝4，42a2－32b2＝1，解得a＝2，b＝3，故该双曲线的标准方程是x24－y23＝1.题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(1)(2022·北京)已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝________.答案－3解析方法一依题意得m0，双曲线的方程化为标准方程为y2－x2－m＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±1－m＝±33，解得m＝－3.方法二依题意得m0，令y2－x2－m＝0，得y＝±1－mx，则±1－m＝±33，解得m＝－3.(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，3)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．答案4x2－y2＝1解析方法一由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则1a2－3b2＝1且ba＝2，联立解得a＝12，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；②若双曲线的焦点在y轴上，则可设y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则3a2－1b2＝1，且ab＝2，此时无解，综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.方法二由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线经过点(1，3)，∴λ＝4×12－(3)2＝1，∴双曲线方程为4x2－y2＝1.思维升华(1)渐近线的求法：求双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0y＝±bax.(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)中，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba，满足关系式e2＝1＋k2.命题点2离心率例4(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为()A.72B.132C.7D.13答案A解析设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，在△F1PF2中，|F1F2|＝m2＋9m2－2×3m×m×cos60°＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|－|PF2|＝7m2m＝72.(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．答案2((1，5]内的任意值均可)解析双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥ba，∴b2a2≤4，∴e2＝c2a2＝1＋b2a2≤5，又e＞1，∴e∈(1，5]，∴填写(1，5]内的任意值均可．思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2