2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 §8.8 直线与圆锥曲线的位置关系

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公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君§8.8直线与圆锥曲线的位置关系考试要求1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置判断将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则直线与圆锥曲线相交⇔Δ0;直线与圆锥曲线相切⇔Δ=0;直线与圆锥曲线相离⇔Δ0.特别地,①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点.②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点.2.弦长公式已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0),则|AB|=x1-x22+y1-y22=1+k2|x1-x2|=1+k2x1+x22-4x1x2或|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+1k2y1+y22-4y1y2.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)过点1,12的直线一定与椭圆x22+y2=1相交.(√)(2)直线与抛物线只有一个公共点,则该直线与抛物线相切.(×)(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.(√)(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.(√)教材改编题1.直线y=kx+2与椭圆x23+y22=1有且只有一个交点,则k的值是()A.63B.-63C.±63D.±33公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君答案C解析由y=kx+2,x23+y22=1,得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得k=±63.2.已知直线l:y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的长是()A.2B.4C.8D.16答案C解析联立y=x-1,y2=4x,消去y并整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,所以|AB|=1+k2x1+x22-4x1x2=1+1×36-4=8.3.已知点A,B是双曲线C:x22-y23=1上的两点,线段AB的中点是M(3,2),则直线AB的斜率为()A.23B.32C.49D.94答案D解析设A(x1,y1),B(x2,y2),∵点A,B是双曲线C上的两点,∴x212-y213=1,x222-y223=1,两式相减得x1+x2x1-x22=y1+y2y1-y23,∵M(3,2)是线段AB的中点,∴x1+x2=6,y1+y2=4,∴6x1-x22=4y1-y23,∴kAB=y1-y2x1-x2=94.公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君题型一直线与圆锥曲线的位置关系例1(1)若直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y216=1的交点有()A.1个B.至多1个C.2个D.0个答案C解析因为直线mx+ny=9和圆x2+y2=9没有交点,所以9m2+n23,即m2+n29,所以m29+n216≤m29+n291,即点(m,n)在椭圆x29+y216=1内,所以过点(m,n)的直线与椭圆x29+y216=1的交点有2个.(2)(多选)已知直线y=x与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)无公共点,则双曲线的离心率可能为()A.1B.2C.62D.3答案BC解析双曲线的一条渐近线为y=bax,因为直线y=x与双曲线无公共点,故有ba≤1.即b2a2=c2-a2a2=e2-1≤1,所以e2≤2,所以1e≤2.思维升华(1)直线与双曲线只有一个交点,包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).跟踪训练1(1)(2023·梅州模拟)抛物线C:y2=4x的准线为l,l与x轴交于点A,过点A作抛物线的一条切线,切点为B,则△OAB的面积为()A.1B.2C.4D.8答案A公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君解析∵抛物线C:y2=4x的准线为l,∴l的方程为x=-1,A(-1,0),设过点A作抛物线的一条切线为x=my-1,m0,由x=my-1,y2=4x,得y2-4my+4=0,∴Δ=(-4m)2-4×4=0,解得m=1,∴y2-4y+4=0,解得y=2,即yB=2,∴△OAB的面积为12×1×2=1.(2)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),经过双曲线C的右焦点F,且倾斜角为60°的直线l与双曲线右支有两个交点,则双曲线离心率的取值范围为________.答案(1,2)解析∵直线l的斜率kl=tan60°=3,双曲线的渐近线方程为y=±bax,则ba3,∴e=ca=1+b2a22,故1e2.题型二弦长问题例2(2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),右焦点为F(2,0),且离心率为63.(1)求椭圆C的方程;(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=3.(1)解由题意得,椭圆半焦距c=2且e=ca=63,所以a=3,公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君又b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为x23+y2=1.(2)证明由(1)得,曲线为x2+y2=1(x0),当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=1,不符合题意;当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),必要性:若M,N,F三点共线,可设直线MN:y=k(x-2),即kx-y-2k=0,由直线MN与曲线x2+y2=1(x0)相切可得|2k|k2+1=1,解得k=±1,联立y=±x-2,x23+y2=1,可得4x2-62x+3=0,所以x1+x2=322,x1x2=34,所以|MN|=1+1·x1+x22-4x1x2=3,所以必要性成立;充分性:设直线MN:y=kx+m(km0),即kx-y+m=0,由直线MN与曲线x2+y2=1(x0)相切可得|m|k2+1=1,所以m2=k2+1,联立y=kx+m,x23+y2=1,可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,所以x1+x2=-6km1+3k2,x1x2=3m2-31+3k2,所以|MN|=1+k2·x1+x22-4x1x2=1+k2-6km1+3k22-4·3m2-31+3k2=1+k2·24k21+3k2=3,化简得3(k2-1)2=0,所以k=±1,公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君所以k=1,m=-2或k=-1,m=2,所以直线MN:y=x-2或y=-x+2,所以直线MN过点F(2,0),M,N,F三点共线,充分性成立,所以M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=3.思维升华(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线,任何两点的弦长都可以用弦长公式求.(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|=x1+x2+p.(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.跟踪训练2已知焦点在x轴上的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),短轴长为23,椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设椭圆的右顶点为B,过F1的直线l与椭圆C交于点M,N,且S△BMN=1827,求直线l的方程.解(1)由2b=23,a-c=1,a2-c2=b2,得b=3,a=2,c=1,所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)由题意知,直线的斜率存在且不为0,F1(-1,0),B(2,0),设直线l的方程为x=my-1,M(x1,y1),N(x2,y2),由x24+y23=1,x=my-1,得(3m2+4)y2-6my-9=0,即y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4.又S△BMN=12|BF1|·|y1|+12|BF1|·|y2|=12|BF1|·|y1-y2|=12|BF1|·y1+y22-4y1y2=18m2+13m2+4=1827,解得m=±1,所以直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君题型三中点弦问题例3(2023·衡水模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为22,短轴顶点分别为M,N,四边形MF1NF2的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l交椭圆C于A,B两点,若AB的中点坐标为(-2,1),求直线l的方程.解(1)因为离心率e=ca=22,所以a=2c,因为a2=b2+c2,所以b=c.因为四边形MF1NF2的面积为32,所以2bc=32,所以b=c=4,a=42,故椭圆C的标准方程为x232+y216=1.(2)由题意得,直线l的斜率存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x2132+y2116=1,x2232+y2216=1,两式相减得x21-x2232+y21-y2216=0,所以y1-y2x1-x2=-12·x1+x2y1+y2.因为AB的中点坐标为(-2,1)在椭圆内部,所以y1-y2x1-x2=1,所以直线l的斜率为1,故直线l的方程为y-1=x+2,即x-y+3=0.思维升华(1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路①根与系数的关系法:联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组,消元得到一元二次方程后,由根与系数的关系及中点坐标公式求解.②点差法:设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程,并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子,可以大大减少计算量.(2)点差法常用结论已知A(x1,y1),B(x2,y2)为圆锥曲线E上的两点,AB的中点为C(x0,y0),直线AB的斜率为k.若E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则k=-b2a2·x0y0;公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君若E的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则k=b2a2·x0y0;若E的方程为y2=2px(p0),则k=py0.跟踪训练3(1)(2022·石家庄模拟)已知倾斜角为π4的直线与双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,b0),相交于A,B两点,M(1,3)是弦AB的中点,则双曲线的渐近线方程为________.答案y=±3x解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x22=1,y1+y22=3,y1-y2x1-x2=1,由y21a2-x21b2=1,y22a2-x22b2=1,两式相减可得y1-y2y1+y2a2-x1-x2x1+x2b2=0,则6a2-2b2=0,即a2=3b2,则a=3b,则ab=3,故双曲线的渐近线方程为y=±3x.(2)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同的两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为()A.(1,-1)B.(2,0)C.12,-32D.(1,1)答案A解析因为焦点到准线的距离为p,则p=1,所以y2=2x.设点P(x1,y1),Q(x2,y2).则y21=2x1,y22=2x2,则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),∴kPQ=2y1+y2,又∵P,Q关于直线l对称,∴kPQ=-1,即y1+y2=-2,∴PQ中点的纵坐标为y1+y22=-1,公众号:高中试卷君公众号:高中试卷君又∵PQ的中点在直线l上,∴PQ中点的横坐标为x1+x22=(-1)+2=1.∴线段PQ的中点坐标为(1,-1).课时精练1.已知直线l:kx+y+1=0,椭圆C:x216+y24=1,则直线l与椭圆C的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定答案C解析由直线l:kx+y+1=0,得直线

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