2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　必刷小题16　圆锥曲线

公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君必刷小题16圆锥曲线一、单项选择题1．(2023·淄博模拟)双曲线y23－x2＝1的离心率为()A.32B.62C.233D.263答案C解析双曲线y23－x2＝1的焦点在y轴上，a＝3，b＝1，c＝3＋1＝2，所以离心率为ca＝23＝233.2．(2022·郑州模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为35，以C的上、下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为()A．5B．10C．15D．20答案D解析根据题意，由椭圆的离心率为35可得ca＝35，又12×2b×c＝48，即bc＝48，且a2＝b2＋c2，故可得a＝10，b＝8，c＝6，则椭圆的长轴长2a＝20.3．(2022·长春模拟)已知M为抛物线C：x2＝2py(p0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则p等于()A．3B．4C．5D．6答案B解析抛物线C：x2＝2py(p0)的准线方程为y＝－p2，因为点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，所以p2＝2，所以p＝4.4．(2023·河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为74，面积为12π，则椭圆C的方程为()A.x29＋y216＝1B.x23＋y24＝1公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君C.x218＋y232＝1D.x24＋y236＝1答案A解析由题意，设椭圆C的方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，因为椭圆C的离心率为74，面积为12π，所以e＝ca＝1－b2a2＝74，12π＝abπ，解得a2＝16，b2＝9，所以椭圆C的方程为y216＋x29＝1.5．(2022·滁州模拟)已知椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且在x轴的下方，若线段PF2的中点在以原点O为圆心，OF2为半径的圆上，则直线PF2的倾斜角为()A.π6B.π4C.π3D.2π3答案C解析在椭圆x24＋y23＝1中，a＝2，b＝3，c＝a2－b2＝1，设线段PF2的中点为M，连接PF1，MF1，如图所示，则F1F2为圆O的一条直径，则F1M⊥PF2，因为M为PF2的中点，则|PF1|＝|F1F2|＝2c＝2，则|PF2|＝2a－|PF1|＝2，所以△PF1F2为等边三角形，由图可知，直线PF2的倾斜角为π3.6．(2023·石家庄模拟)已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M(3,4)，则|PM|＋|PN|的最小值是()A．25－1B.5－1C.5＋1D．25＋1答案A解析由抛物线C：y2＝4x知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，则最小值为|MF|－1＝3－12＋4－02－1＝25－1.7．(2022·德州联考)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，曲线C上一点P到x轴的距离为3c，且∠PF2F1＝120°，则双曲线C的离心率为()A.3＋1B.3＋12C.5＋1D.5＋12答案B解析作PM⊥x轴于点M，如图，依题意|PM|＝3c，∠PF2F1＝120°，则∠PF2M＝60°，由题意知F2(c,0)，由sin∠PF2M＝|PM||PF2|＝32，得|PF2|＝2c，由双曲线的定义知|PF1|＝2a＋2c，而|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|cos∠PF2F1，解得2a＋2c＝23c，即a＝(3－1)c，又离心率e＝ca，于是有e＝3＋12，所以双曲线C的离心率为3＋12.公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君8．(2022·连云港模拟)直线l：y＝－x＋1与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，圆M过两点A，B且与抛物线C的准线相切，则圆M的半径是()A．4B．10C．4或10D．4或12答案D解析可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y2＝4x，y＝－x＋1消去x，可得y2＋4y－4＝0，则y1＋y2＝－4，即y1＋y2＝－x1＋1－x2＋1＝－4，则x1＋x2＝6，可得AB的中点坐标为P(3，－2)，易知，直线l过抛物线焦点(1,0)，则|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝8，且AB的垂直平分线方程为y－(－2)＝1×(x－3)，即y＝x－5，则可设圆M的圆心为M(a，b)，半径为r，所以b＝a－5，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，即(x－a)2＋(y－a＋5)2＝r2，又圆心M(a，b)到直线l:y＝－x＋1的距离d＝|a＋b－1|2＝|2a－6|2，且满足AB22＋d2＝r2，则16＋2(a－3)2＝r2，①又因为圆M与抛物线C的准线相切，所以|a＋1|＝r，即(a＋1)2＝r2，②①②联立解得a＝3，r＝4或a＝11，r＝12.二、多项选择题9．(2023·济南模拟)已知双曲线C：x22－y2m＝1(m0)，则下列说法正确的是()A．双曲线C的实轴长为2B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为mC．若(2,0)是双曲线C的一个焦点，则m＝2D．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2答案CD解析由双曲线C：x22－y2m＝1，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君得a＝2，b＝m，c＝2＋m，则双曲线C的实轴长为22，故A错误；双曲线的渐近线方程为y＝±2m2x，即mx±2y＝0，取右焦点(2＋m，0)和渐近线mx＋2y＝0，则右焦点(2＋m，0)到渐近线mx＋2y＝0的距离为|2＋m·m|2＋m＝m，故B错误；因为(2,0)是双曲线C的一个焦点，所以c＝2＋m＝2，则m＝2，故C正确；因为渐近线y＝2m2x和y＝－2m2x垂直，所以2m2·－2m2＝－1，解得m＝2，故D正确．10．(2022·潍坊模拟)已知抛物线x2＝12y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A．点F的坐标为18，0B．若直线MN过点F，则x1x2＝－116C．若MF→＝λNF→，则|MN|的最小值为12D．若|MF|＋|NF|＝32，则线段MN的中点P到x轴的距离为58答案BCD解析易知点F的坐标为0，18，选项A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－116，选项B正确；若MF→＝λNF→，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即12，选项C正确；抛物线x2＝12y的焦点为0，18，准线方程为y＝－18，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝32，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君所以线段|PP′|＝|MM′|＋|NN′|2＝34，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－18＝34－18＝58，选项D正确．11．(2023·湖北四地联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(2，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则()A．椭圆C的离心率的取值范围是0，22B．当椭圆C的离心率为32时，|QF1|的取值范围是[2－3，2＋3]C．存在点Q使得QF1—→·QF2—→＝0D.1|QF1|＋1|QF2|的最小值为1答案BCD解析由题意得a＝2，又点P(2，1)在椭圆C外，则24＋1b21，解得b2，所以椭圆C的离心率e＝ca＝4－b2222，即椭圆C的离心率的取值范围是22，1，故A不正确；当e＝32时，c＝3，b＝a2－c2＝1，所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[2－3，2＋3]，故B正确；设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，由于AF1—→·AF2—→＝b2－c2＝2b2－a20，所以存在点Q使得QF1—→·QF2—→＝0，故C正确；(|QF1|＋|QF2|)1|QF1|＋1|QF2|＝2＋|QF2||QF1|＋|QF1||QF2|≥2＋2＝4，当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，所以1|QF1|＋1|QF2|≥1，故D正确．12．(2022·济宁模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则()A．||PA1|－|PA2||＝2aB．若焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为5C．若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为1D．若双曲线C为等轴双曲线，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，则∠PA1A2＝π10答案BCD解析对于A，在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边，得||PA1|－|PA2|||A1A1|＝2a，故A错误；对于B，焦点F2(c,0)，渐近线不妨取y＝bax，即bx－ay＝0，设F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)，则nm－c×ba＝－1，b×m＋c2－a×n2＝0，解得m＝a2－b2c，n＝2abc，即F2关于双曲线C的渐近线的对称点为a2－b2c，2abc，由题意知该点在双曲线上，故a2－b22a2c2－2ab2b2c2＝1，将c2＝a2＋b2代入，化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，所以e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝5，故e＝5，故B正确；对于C，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，则x20－y20＝a2，则x20－a2＝y20，故1PAk·2PAk＝y0x0＋a·y0x0－a＝y20x20－a2＝1，故C正确；对于D，双曲线C为等轴双曲线，公众号：高中试卷君公众号：高中试卷君即C：x2－y2＝a2(a0)，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，设∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，则∠PA2x＝4θ，根据C的结论1PAk·2PAk＝1，即有tanθ·tan4θ＝1，在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，故θ＋4θ＝π2，θ＝π10，故D正确．三、填空题13．(2022·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程________________．①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为13.答案x29＋y28＝1(答案不唯一)解析只要椭圆方程形如x29m＋y28m＝1(m0)或y29m＋x28m＝1(m0)即可．14．(2023·衡水中学模拟)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为________．答案π3解析∵ca＝2，∴c2a2＝4，故a2＋b2a2＝4，∴ba＝3，∴两条渐近线方程为y＝±3x，∴两条渐近线所成的锐角为π3.15．(2023·海东模拟)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与x－a2＋y－b2相关的代数问题可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程x2＋4x＋8＋x2－4x＋8＝43的解是________．答案x＝±6解析因为x2＋4x＋8＋x2－4x＋8＝43，所以x＋22＋22