素养拓展06 导数中的公切线问题（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展06导数中的公切线问题（精讲+精练）一、公切线问题一般思路两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡.主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.考法1：求公切线方程已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程.具体做法为：设公切线在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝.考法2：由公切线求参数的值或范围问题由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．【典例1】若直线ykxb是曲线xye的切线，也是曲线ln2yx的切线，则k______．【解析】设ykxb与xye和ln2yx，分别切于点11,xxe，22,ln2xx，由导数的几何意义可得：1212xkex，即1212xxe，①则切线方程为111xxyeexx，即1111xxxyexexe，或2221ln22yxxxx，即2221ln22yxxxx，②将①代入②得11121xxyexex，又直线ykxb是曲线xye的切线，也是曲线ln2yx的切线，二、题型精讲精练一、知识点梳理则1111121xxxexeex，即11110xex，则11x或10x，即01ke或11kee，故答案为1或1e．【典例2】已知直线ykxb与函数xye的图像相切于点11,Pxy，与函数lnyx的图像相切于点22,Qxy，若21x，且2,1xnn，nZ，则n______．【解析】依题意，可得112112221lnxxekxyekxbyxkxb，整理得2222lnln10xxxx令lnln11fxxxxxx，则1lnfxxx在1,单调递增且120ff，∴存在唯一实数1,2m，使0fmmin10fxfmf，2n2l30f，32n4l30f，43ln450f，54ln560f，∴24,5x，故4n．【题型训练】1.求公切线方程一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）曲线1yx与曲线2yx的公切线方程为（）A．44yxB．44yxC．24yxD．24yx2．（2023·全国·高三专题练习）对于三次函数()fx，若曲线()yfx在点(0,0)处的切线与曲线()yxfx在点(1,2)处点的切线重合，则(2)f（）A．34B．14C．4D．143．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lnfxxx，2gxaxx．若经过点()1,0A存在一条直线l与曲线yfx和ygx都相切，则a（）A．-1B．1C．2D．34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数21()44,()fxxxgxx，则()fx和()gx的公切线的条数为A．三条B．二条C．一条D．0条5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数22fxxm，3lngxxx，若yfx与ygx在公共点处的切线相同，则m（）A．3B．1C．2D．56．（2023·全国·高三专题练习）函数()lnfxx在点00(,())Pxfx处的切线与函数()xgxe的图象也相切，则满足条件的切点的个数有A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题7．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）与曲线exy和24xy都相切的直线方程为__________.8．（2023·全国·高三专题练习）已知e1xfx（e为自然对数的底数），ln1gxx，请写出fx与gx的一条公切线的方程______．9．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知直线l与曲线exy、2lnyx都相切，则直线l的方程为______．10．（2023春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知直线ykxb是曲线ln1yx与2lnyx的公切线，则kb__________.2.公切线中的参数问题一、单选题1．（2023·陕西渭南·统考一模）已知直线(R,0)yaxbab是曲线exfx与曲线ln2gxx的公切线，则ab等于（）A．e2B．3C．e1D．22．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）若直线l与曲线exy相切，切点为11,Mxy，与曲线23yx也相切，切点为22,Nxy，则122xx的值为（）A．2B．1C．0D．13．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知曲线yx在点0001,04xxx处的切线也与曲线exy相切，则0x所在的区间是（）A．410,4eB．4211,4e4eC．211,4e4eD．11,4e44．（2023·全国·高三专题练习）若函数2ln1fxax与21gxx的图像存在公共切线，则实数a的最大值为（）A．eB．2eC．2e2D．2e5．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）定义：若直线l与函数yfx，ygx的图象都相切，则称直线l为函数yfx和ygx的公切线．若函数ln0fxaxa和2gxx有且仅有一条公切线，则实数a的值为（）A．eB．eC．2eD．2e6．（2023春·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）已知函数2lnfxx，gxax，若总存在两条不同的直线与函数yfx，ygx图象均相切，则实数a的取值范围为（）A．0,1B．0,2C．1,2D．1,e7．（2023·全国·高三专题练习）若曲线ln1yx与曲线23yxxa有公切线，则实数a的取值范围（）A．2ln233ln2,62B．14ln23ln2,122C．2ln23,6D．14ln2,128．（2023·河北·统考模拟预测）若曲线2()32fxx与曲线()2ln(0)gxmxm存在公切线，则实数m的最小值为（）A．6eB．3eC．2eD．6e二、多选题9．（2023·湖北·统考模拟预测）若存在直线与曲线322,fxxxgxxaa都相切，则a的值可以是（）A．0B．24C．2log7D．eππe10．（2023·全国·高三专题练习）函数ln1fxx，e1xgx，下列说法正确的是（）．（参考数据：2e7.39，3e20.09，ln20.69，ln31.10）A．存在实数m，使得直线yxm与yfx相切也与ygx相切B．存在实数k，使得直线1ykx与yfx相切也与ygx相切C．函数gxfx在区间2,3上不单调D．函数gxfx在区间2,3上有极大值，无极小值三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）若曲线2yax与lnyx有一条斜率为2的公切线，则a___________.12．（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线lnyx与20yaxa有公共切线，则实数a的取值范围为__________.13．（2023·浙江金华·统考模拟预测）若存在直线l既是曲线2yx=的切线，也是曲线lnyax的切线，则实数a的最大值为___________.