素养拓展14 平面向量中等和线的应用（原卷版）

学科网（北京）股份有限公司1【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展14平面向量中等和线的应用（精讲+精练）一、平面向量共线定理已知OCOBOA，若1，则A，B，C三点共线，反之亦然.二、等和线平面内一组基底OBOA,及任一向量OP，),(ROBOAOP，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.（1）当等和线恰为直线AB时，k=1；（2）当等和线在O点和直线AB之间时，)1,0(k；（3）当直线AB在点O与等和线之间时，),1(k；（4）当等和线过O点时，k=0；（5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数.三、证明步骤如图1，P为AOB所在平面上一点，过O作直线//lAB，由平面向量基本定理知：存在,xyR，使得OPxOAyOB下面根据点P的位置分几种情况来考虑系数和xy的值①若Pl时，则射线OP与l无交点，由//lAB知，存在实数，使得OPAB而ABOBOA，所以OPOBOA，于是=-=0xy一、知识点梳理学科网（北京）股份有限公司2②若Pl时，（i）如图1，当P在l右侧时，过P作//CDAB，交射线OAOB，于,CD两点，则OCDOAB，不妨设OCD与OAB的相似比为k由,PCD，三点共线可知：存在R使得：(1)(1)OPOCODkOAkOB所以(1-)xykkk（ii）当P在l左侧时，射线OP的反向延长线与AB有交点，如图1作P关于O的对称点P，由（i）的分析知：存在存在R使得：(1)(1)OPOCODkOAOB所以--(1)OPkOAOB，于是--(1-)-xykkk综合上面的讨论可知：图1中OP用,OAOB线性表示时，其系数和xy只与两三角形的相似比有关。我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过O作AB边的垂线l，设点P在l上的射影为P，直线l交直线AB于点1P，则1||||||OPkOP(k的符号由点P的位置确定)，因此只需求出||OP的范围便知xy的范围一般解题步骤：（1）确定单位线（当1时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；（3）从长度比计算最值.【典例1】设,DE是ABC边,ABBC上的点，12ADAB,若DEABAC，则=（）【解析】因为DEAEAD，所以AEADABAC，因为12ADAB，所以12AEABAC，由于此时等和线为BC，所以112，即12.二、题型精讲精练学科网（北京）股份有限公司3【典例2】如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且2AD，点P是BCD（含边界）的动点，设OPOCOB，则的最大值为（）【解析】当点P位于点B时，过点B作//GHDC，交,OCOD的延长线于,GH,则OPxOGyOH，且1xy，所以3322OPOBxOGyOHxOCyODOCOD，所以333222xy.故答案为：32.【题型训练-刷模拟】一、单选题1.已知O为ABC的外心，若(0,0),(2,0),1,120,ABACBAC且AOABAC，则（）2.在ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足13ANNM，(,)ANABACR，则的值为()A．14B．13C．1D．43.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P是以C为圆心且与BD相切的圆上，若ADABAP，则的最大值为（）A.3B.22C.5D.24.在ABC中，点D是线段BC上任意一点，且满足APAD3，若存在实数m和n，使得ACnABmBP，学科网（北京）股份有限公司4则m+n=（）A.32B.31C.32D.315.已知抛物线yx42的焦点为F，点)2,0(C，过点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，点P为抛物线上任意一点，若CBnCAmCP，则m+n的最小值为（）A.31B.21C.32D.436.在矩形ABCD中，1,2ABAD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若APABAD，则+的最大值为()A3B22C5D27.已知O是ABC内一点，且0OAOBOC，点M在OBC内（不含边界），若AMABAC，则2的取值范围是（）A．51,2B．1,2C．2,13D．1,128.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若APxAByAC，则22xy的最大值为（）A．83B．2C．43D．1二、填空题1.如图，在同一个平面内，向量OCOBOA,,的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为，且7tan，OB与OC的夹角为45，若),(RnmOBnOAmOC，则m+n=______.2.已知P是ABC内任一点，且满足ACyABxAP，Ryx,，则y+2x的取值范围是_____.3.如图，正六边形ABCDEF，P是CDE内（包括边界）的动点，设(,)APABAFR，则的取值范围是____________学科网（北京）股份有限公司5