素养拓展16 解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（原卷版）

学科网（北京）股份有限公司1【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展16解三角形中三角形面积和周长（边）的最值（范围）问题（精讲+精练）1.正弦定理RCcBbAa2sinsinsin.（其中R为ABC外接圆的半径）2sin,2sin,2sin;aRAbRBcRC（边化角）sin,sin,sin;222abcABCRRR（角化边）2.余弦定理：222222222cos,2cos,2cos.2bcaAbcacbBacabcCab2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbacacBcababC3.三角形面积公式：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21=12(𝑎+𝑏+𝑐)𝑟(𝑟为三角形ABC的内切圆半径)4.三角形内角和定理：在△ABC中，有()ABCCAB222CAB222()CAB.5.基本不等式（优先用基本不等式）①2abab②222abab6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题）利用正弦定理2sinaRA，2sinbRB，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。【典例1】若π3A，3a，求ABCS的最大值．建议使用两种方法来解决：二、题型精讲精练一、知识点梳理学科网（北京）股份有限公司2法一：余弦定理＋不等式．法二：正弦定理＋辅助角公式＋三角形面积公式．【分析】方法一：利用余弦定理和基本不等式可求得9bc，代入三角形面积公式即可求得最大值；方法二：利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到π6sin236bcB，结合B的范围，由正弦型函数值域的求法可求得bc的范围，代入三角形面积公式即可求得最大值.解：方法一：由余弦定理得：222222cos9abcbcAbcbc，222bcbc（当且仅当bc时取等号），229bcbcbc，11393sin92224ABCSbcA（当且仅当bc时取等号），ABCS的最大值为934；方法二：由正弦定理得：23sinsinsinbcaBCA，3112sinsin12sinsin12sincossin22bcBCBABBBB2π63sincos6sin33sin23cos236sin236BBBBBB；2π0,3B，ππ7π2,666B，π1sin2,162B，0,9bc，1393sin0,244ABCSbcAbc，ABCS的最大值为934.【典例2】若π3A，3a，求ABC周长的取值范围．建议使用两种方法来解决：法一：余弦定理＋不等式＋三角形三边关系．法二：正弦定理＋辅助角公式．【分析】方法一：利用余弦定理构造方程，根据22bcbc可求得bc的最大值，结合三角形三边关系可求得结果；方法二：利用正弦定理角化边，可将abc化为π6sin36B，结合B的范围，由正弦型函数值域的求法可求得结果.解：方法一：由余弦定理得：22222cos39abcbcAbcbc，又22bcbc（当且仅当bc时取等号），22231944bcbcbc，解得：6bc（当且仅当bc时取等号），学科网（北京）股份有限公司3又3bca，3,6bc，ABC周长abc的取值范围为6,9；方法二：由正弦定理得：23sinsinsinbcaBCA，π23sin23sin323sin23sin33abcBCBBπ23sin3cos3sin333sin3cos36sin36BBBBBB，2π0,3B，ππ5π,666B，1sin,1π62B，6,9abc，即ABC周长的取值范围为6,9.【题型训练1-刷真题】1．（2022·全国·统考高考真题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB．(1)若23C，求B；(2)求222abc的最小值．2．（2020·全国·统考高考真题）ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求ABC周长的最大值.3．（2020·浙江·统考高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin30bAa．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．【题型训练2-刷模拟】1.面积的最值（范围）问题一、解答题1．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足abcabcab.学科网（北京）股份有限公司4(1)求角C；(2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC面积的最小值.2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2cos2cos2BCA12sinsinBC.(1)求A；(2)若4a，求ABC面积的最大值.3．（2023·河北秦皇岛·秦皇岛一中校考二模）已知ABC内角,,ABC所对的边长分别为2222,,,22cos2cosabcaBbabCac.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且4a，求ABC面积的取值范围.4．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知22sinsincos1sinsinABCAB.(1)求∠C.(2)若()sin2sinBbA=-，求ABC面积的最小值.5．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知ABC的三个内角分别为A、B、C，其对边分别为a、b、c，若2costansincaCBCb．(1)求角B的值；(2)若2b，求ABC面积S的最大值．6．（2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知tan2tanBacCc.(1)求角B的值；(2)若ABC为锐角三角形，且2c，求ABC面积的取值范围.学科网（北京）股份有限公司57．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，(sinsin)()(sinsin)ABabcCB，D为BC边上一点，AD平分,2BACAD．(1)求角A；(2)求ABC面积的最小值．8．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,2sintan0abcAA．(1)求A；(2)若sin4sinbAB，且lglg12cos()bcBC，求ABC面积的取值范围．9．（2023·浙江·校联考模拟预测）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,,sinsinsinabcABCB.(1)若ABC外接圆的半径为3，求ABC面积的最大值；(2)若ABC内切圆的半径为3，求ABC面积的最小值.10．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且222bcabc．(1)求A；(2)若sin4sinbAB，且lglg12cosbcBC，求ABC面积的取值范围．11．（2023·江西·校联考二模）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知222sinsincoscossin2ABABC.(1)求角C；(2)若ABC为锐角三角形，且2b，求ABC面积的取值范围.12．（2023·广东茂名·统考二模）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2acAb.(1)求角C的大小；(2)若2ACBC，点M、N在边AB上，π3MCN，求CMN面积的最小值.13．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，学科网（北京）股份有限公司6已知2222coscos2bcabaBCb，其中，π2C．(1)求角B的大小；(2)若223125bcac，求△ABC面积的最大值．14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2sin2sin2sinsinaAbcBcCB．(1)求A；(2)点D在边BC上，且3BDDC，4AD，求ABC面积的最大值．15．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知22sinsinsin2sin0BBCC．(1)求bc的值；(2)若4BC，求三角形ABC面积的最大值．16．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，3coscoscoscoscosbcaaBCABC.(1)求tantanBC；(2)若3bc，求ABC面积S的最小值.2.周长（边）的最值（范围）问题一、解答题1．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）在ABC中，sin3coscBbC.(1)求C；(2)若6ab，求ABC周长的最小值.2．（2023·全国·高三专题练习）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知学科网（北京）股份有限公司7sinsinsinsinsinbaccACBAC(1)求角A的大小．(2)若4b，求c的取值范围．3．（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知平面四边形ABCD中，180,3ACBC，若120ABC，ABC的面积为932．(1)求AC的长；(2)求四边形ABCD周长的最大值．4．（2023·全国·模拟预测）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足1sincossinsin2aBCbCbB．(1)求角A的大小；(2)若ABC的外接圆半径为3，求ABC周长的取值范围．5．（2023·河北张家口·张家口市宣化第一中学校考三模）在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinsinsinsinbCaAbBcC．(1)求A；(2)若2a，求BC边上的高AD的最大值．6．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2c，C=π3.(1)当2sin2sin(2)sinABCC时，求ABC的面积;(2)求ABC周长的取值范围.7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若224acac，2b．(1)求角B的大小；学科网（北京）股份有限公司8(2)求ac的取值范围．8．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知ππsincos032bAaB．(1)求角A的大小；(2)点D为边BC上一点（不包含端点），且满足2ADBACB，求DCBC的取值范围．9．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos()cos()bcaABBC.(1)求角A的大小；(2)若6a，求bc的取值范围.10．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设3sin2cosbAa