素养拓展18 解三角形中的结构不良问题（原卷版）

资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展18解三角形中的结构不良问题（精讲+精练）一、“结构不良问题”的解题策略（1）题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；（2）在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．（1）如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；（2）如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；（3）以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．三、“边化角”或“角化边”的变换策略（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理．【典例1】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2bCac(1)求角B；(2)在①ABC的外接圆的面积为16π3，②ABC的周长为12，③4b，这三个条件中任选一个，求ABC的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.二、题型精讲精练一、知识点梳理资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2【分析】（1）由已知，根据给的2cos2bCac，先使用正弦定理进行边角转化全部转化成角的关系，然后再利用sinsin()ABC,把sinA换掉，展开和差公式合并同类项，然后根据角B的取值范围，即可完成求解；（2）由已知，根据第（1）问计算出的角B，若选①，现根据给的外接圆的面积计算出外接圆半径R，然后根据角B利用正弦定理计算出边长b，然后使用余弦定理结合基本不等式求解ac的最值，即可完成面积最值得求解；若选②，利用12abc，表示出三边关系，利用余弦定理借助基本不等式求解出a+c的最值，然后再利用基本不等式找到ac与a+c的关系，从而求解出面积的最值；若选③，可根据边长b、角B借助余弦定理使用基本不等式直接求解出ac的最值，即可完成面积最值得求解.【详解】（1）∵2cos2bCac∴2sincos2sinsinBCAC∴2sincos2sin()sinBCBCC2sincos2sincos2cossinsinBCBCBCC，∴2cossinsinBCC∵0,C∴sin0C∴1cos2B∵0,B，∴3B（2）若选①，设ABC的外接圆半径为R，则216ππ3R，∴43R∴432sinB2423bR由余弦定理，得：2222cosBbacac即22162acacacacac，当且仅当ac时，等号成立.即ABC的面积的最大值为43若选②∵12abc，∴12()bac由余弦定理222bacaccosB，222[12()]acacac8()48acac，又22acac∴28()4802acac∴24ac（舍）或8ac，当且仅当ac时等号成立资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】3∴2133SsinB432442acacac，当且仅当ac时等号成立若选③，由余弦定理，得：2222cosbacacB即22162acacacacac，当且仅当ac时，等号成立.∴113sin1643222ABCSacB即ABC的面积的最大值为43【题型训练1-刷真题】一、解答题1．（2023·北京·统考高考真题）设函数π()sincoscossin0,||2fxxx．(1)若3(0)2f，求的值．(2)已知()fx在区间π2π,33上单调递增，2π13f，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()fx存在，求,的值．条件①：π23f；条件②：π13f；条件③：()fx在区间ππ,23上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2021·北京·统考高考真题）在ABC中，2coscbB，23C．（1）求B；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长．条件①：2cb；条件②：ABC的周长为423；条件③：ABC的面积为334；资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4【题型训练2-刷模拟】一、解答题1．（2023·四川·校联考模拟预测）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．在下列三个条件①3n,2simA，2cos2,2cosnAA，且//mnurr；②sin3cosaBbA；③222coscoscossinsin1CBCAB中任选一个，回答下列问题．(1)求A；(2)若2a，求ABC面积的最大值．2．（2023·北京东城·统考模拟预测）已知函数223sincos2sin102fxxxx.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：条件①：在fx图象上相邻的两个对称中心的距离为π2；条件②：fx的一条对称轴为π6x.(1)求ω；(2)将fx的图象向右平移π3个单位（纵坐标不变），得到函数gx的图象，求函数gx在ππ,33上的值域.3．（2023·全国·模拟预测）在①csin3s3ocbCBa，②πsin62abBc，③πsinsin3aCcA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．(1)求角C；(2)若ABC外接圆的面积为4π，求ABC面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】54．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，1sin3B，且______．(1)求ABC的面积；(2)若2sinsin3AC，求b．在①2222abc，②1ABBC这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．5．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为ABC的内心，记△OBC，,OACOAB的面积分别为1S，2S，3S，已知22213132SSSSS，2AB．(1)若ABC为锐角三角形，求AC的取值范围；(2)在①4sinsincos21BAA；②12cos12cos0sinsinABAB；③coscos1aCcA中选一个作为条件，判断△ABC是否存在，若存在，求出ABC的面积，若不存在，说明理由．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）6．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且3cossin3acBbC.(1)求角C的大小；(2)若23c，且__________，求ABC的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线中，并完成作答.①1sinsin12AB；②ABC的面积为33；③23CABC.注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.7．（2023·河北·统考模拟预测）在ABC中，内角A，B，C对应的边为a，b，c，ABC的面积为S，若coscos2aBbAa.(1)当π3B时，求A；(2)若角B为ABC的最大内角.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】6①222acacb；②7b；③32S.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.8．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）在①πsincos6aACbA；②12coscoscoscosCBCBCB；③2tantantanBbABc这三个条件中选择一个补充在下面问题中的横线上，然后求解.问题：在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且23,6bca，______.（说明：只需选择一个条件填入求解，如果三个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分）(1)求角A的大小；(2)求ABC内切圆的半径.9．（2023·宁夏中卫·统考二模）在①tantan33tantanABAB；②()(sinsinsin)sincabCABaB；③3sin(cos1)cBbC；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_______．(1)求角C；(2)若ABC的内切圆半径为3,42b，求ac．10．（2023·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知圆O是ABC的外接圆，圆O的直径2BD.设BCa，ACb，ABc，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，①tan3sin3cos0CbcAcA；②2coscos2sinsintanCACAA；③ABC的面积为22234acb.选择条件______.资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7(1)求b的值；(2)求ACD的周长的取值范围.11．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①sinsin2BCcaC；②sin31cosaCcA；③ABC的面积为22234bca.(1)求角A的大小；(2)求sinsinBC的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.12．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）在①2,macb，cos,cosnCB，//mn；②πsincos6bAaB；③ababacc三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角B；(2)若2b，求ABC面积的最大值．13．（2023·山西吕梁·统考三模）在①3sin4abCABAC；②3sin4cos4aBBc，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，___________.(1)求sinA的值；资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】8(2)若ABC的面积为2，4a，求ABC的周长.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.14．（2023·全国·模拟预测）从①2sin2sincossinBACC，②4sinsintanSAabCA（S为ABC的面积），③coscos2cos2bAaBaCb这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答．在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且______．(1)求角A的大小；(2)若4sinsinBbA，求bc的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．15．（2023·河北邯