素养拓展19 等差数列中Sn的最值问题（原卷版）

1【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{}na的首项为1a，公差为d，那么它的通项公式是1(1)naand．2.等差数列的前n项和公式设等差数列{}na的公差为d，其前n项和11()(1)22nnnaannSnad．注：数列{}na是等差数列⇔2nSAnBn（、AB为常数）．二、等差数列的前n项和的最值1.公差0{}nda为递增等差数列，nS有最小值；公差0{}nda为递减等差数列，nS有最大值；公差0{}nda为常数列．2.在等差数列{}na中（1）若100，ad，则满足1mmaa的项数m使得nS取得最大值mS；（2）若100，ad，则满足1mmaa的项数m使得nS取得最小值mS．即若100ad，则nS有最大值（所有正项或非负项之和）；若100ad，则nS有最小值（所有负项或非正项之和）．【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记nS为数列na的前n项和．已知221nnSnan．二、题型精讲精练一、知识点梳理2(1)证明：na是等差数列；(2)若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)78．【分析】（1）依题意可得222nnSnnan，根据11,1,2nnnSnaSSn，作差即可得到11nnaa，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出1a，即可得到na的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为221nnSnan，即222nnSnnan①，当2n时，21121211nnSnnan②，①②得，22112212211nnnnSnSnnannan，即12212211nnnannana，即1212121nnnanan，所以11nnaa，2n且N*n，所以na是以1为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413aa，716aa，918aa，又4a，7a，9a成等比数列，所以2749aaa，即2111638aaa，解得112a，所以13nan，所以22112512562512222228nnnSnnnn，所以，当12n或13n时，min78nS．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413aa，716aa，918aa，3又4a，7a，9a成等比数列，所以2749aaa，即2111638aaa，解得112a，所以13nan，即有1123210,0aaaa.则当12n或13n时，min78nS．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出nS的最小值，适用于可以求出nS的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题1．（2023·四川泸州·统考三模）记nS为等差数列na的前n项和，已知19a，2410aa，则nS的最小值为（）A．25B．35C．45D．552．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列na的前n项和为nS，3573aaa，1111S，则使nS取得最大值时n的值为（）A．4B．5C．6D．73．（2023·全国·高三专题练习）已知无穷等差数列na的前n项和为nS，公差为d，若100，ad，则不正确的（）A．数列na单调递减B．数列na没有最小值C．数列{nS}单调递减D．数列{nS}有最大值4．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列na的前n项和为nS，若10110aa，10120aa，则nS取最大值时n的值为（）A．10B．11C．12D．135．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知nS为等差数列na的前n项和．若120S，570aa，则当nS取最大值时，n的值为（）A．3B．4C．5D．646．（2023·全国·高三专题练习）设数列na为等差数列，nS是其前n项和，且56678,SSSSS，则下列结论不正确的是（）A．0dB．70aC．95SSD．6S与7S均为nS的最大值7．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）已知等差数列{}na中，514aa，且公差0d，则其前n项和取得最大值时n的值为（）A．8B．9C．10D．118．（2023·全国·高三专题练习）设nS为等差数列na的前n项和，且*Nn，都有10nnaa，若17180aa，则（）A．nS的最小值是17SB．nS的最小值是18SC．nS的最大值是17SD．nS的最大值是18S9．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列na的前n项和为nS，公差为d，若100S，110S，则下列四个命题正确个数为（）①5S为nS的最小值②60a③10a，0d④6S为nS的最小值A．1B．2C．3D．410．（2023·全国·高三专题练习）数列na是递增的整数数列，若12a，12300naaa，则n的最大值为（）A．25B．22C．24D．2311．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设nS为等差数列na的前n项和，且*nN，都有11nnSSnn，若513SS，则（）A．nS的最小值是9SB．nS的最小值是10SC．nS的最大值是9SD．nS的最大值是10S12．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列na中，前n项和为nS，若150S，160S，则在11Sa，22Sa，…，1515Sa中最大的是（）A．11SaB．88SaC．99SaD．1515Sa13．（2023·全国·高三专题练习）已知各项为正的等比数列na的公比为q，前n项的积为nT，且768TTT，5若lgnnba，数列nb的前n项的和为nS，则当nS取得最大值时，n等于（）A．6B．7C．8D．914．（2023·全国·高三专题练习）等差数列na的首项为正数，其前n项和为nS.现有下列命题，其中是假命题的有（）A．若nS有最大值，则数列na的公差小于0B．若6130aa，则使0nS的最大的n为18C．若90a，9100aa，则nS中9S最大D．若90a，9100aa，则数列na中的最小项是第9项15．（2023·全国·高三专题练习）对于数列na，定义112022nnaaaHn为na的“优值”．现已知数列na的“优值”102nH，记数列20na的前n项和为nS，则下列说法错误的是（）A．22nanB．219nSnnC．89SSD．nS的最小值为7216．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列na的前n项和为nS，且117SS.若存在实数a，b，使得3ab，且217e1ln21abSab，当nk时，nS取得最大值，则2kab的值为（）A．12或13B．11或12C．10或11D．9或10二、多选题17．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知等差数列na的公差为d，前n项和为nS，且0d，146,,aaa成等比数列，则（）A．190SB．90aC．当0d时，9S是nS的最大值D．当0d时，10S是nS的最小值18．（2023春·河南·高三阶段练习）等差数列na的前n项和为nS，公差为d，若1317310,0aaS，则（）A．0dB．0dC．当15n时，nS取得最大值D．当16n时，nS取得最大值619．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）数列na是等差数列，810S，则下列说法正确的是（）A．36aa为定值B．若1272a，则5n时nS最大C．若12d，使nS为负值的n值有3个D．若46S，则1212S20．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）设等差数列na的前n项和为nS，若11910SSS，则下列结论正确的是（）A．数列na是递减数列B．10110aaC．当19n时，0nSD．1640SS21．（2023秋·山东济南·高三统考期中）已知等差数列na，前n项和为202312022,0,1naSaa，则下列结论正确的是（）A．20220aB．nS的最大值为2023SC．na的最小值为2022aD．40440S22．（2023·江苏盐城·校考模拟预测）等差数列na的前n项和为nS，公差为d，若951050SSSS，则下列结论正确的是（）A．若0d，则140SB．若0d，则8S最小C．78aaD．6279aaa23．（2023·全国·高三专题练习）设nS是等差数列na的前n项和，若713SS，且*1)1(nnnSnSnN，则下列选项中正确的是（）A．1nnaaB．10S和11S均为nS的最大值C．存在正整数k，使得0kSD．存在正整数m，使得3mmSS三、填空题24．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知数列na的通项公式为210nan，nS为na前n项和，则nS最小值时，n.25．（2023春·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知nS为等差数列na的前n项和.若160S，790aa，则当nS取最小值时，n的值为.726．（2023·全国·高三专题练习）nS是数列{}na的前n项和，当7n时，nS取得最小值，写出一个符合条件的数列{}na的通项公式，an=.27．（2023·全国·高三专题练习）首项为正数，公差不为0的等差数列na，其前n项和为nS，现有下列4个命题：①若89SS，则910SS；②若110S，则2100aa；③若13140,0SS，则nS中7S最大；④若210SS，则使0nS的n的最大值为11．其中所有真命题的序号是．28．（2023春·江西宜春·高三校考开学考试）设等差数列na的前n项和为1,0nSa且54911aa，当nS取最大值时，n的值为．29．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知nS是等差数列{na}的前n项和，若仅当5n时nS取到最小值，且56||||aa，则满足0nS的n的最小值为.30．（2023·全国·高三专题练习）设数列na的前n项和为nS，且0na，2428nnnSaa，则3nnSa的最小值是.31．（2023秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知等差数列na的前n项和为nS，并且10110,0SS，若nkSS对Nn恒成立，则正整数k的值为.四、解答题32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列na的前n项和为nS，且1121526,aSS.(1)求na的通项公式；(2)求nS，并求nS的最小值.33．（2023·海南·校联考模拟预测）已知等差数列na是递减数列，设其前n项和为nS，且满足11a，2336SS．(1)求na的通项公式；8(2)设数列9nSn的前n项和为nT，求nT的最大值及相应的n的值．34．（2023春·青海西宁·高三校考开学考试）记nS为数列na的前n项和．已知221nnSnan．(1)证明：na是等差数列；(2)若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．35．（2023·辽宁丹东·统考二模）记nS为数列na的前n项和，已知1