素养拓展25 立体几何中的截面问题（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展25立体几何中的截面问题（精讲+精练）一、截面问题的理论依据(1)确定平面的条件①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行二、截面问题的基本思路1.定义相关要素①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面3.作截面的具体步骤（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面三、作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分点一、知识点梳理方法：两点成线相交法或者平行法特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；2.“第三点”是在外棱上，如C1，注意：此时合格C1点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何处，只要在棱上就可以.方法一：相交法，做法如下图.方法二：平行线法，做法如下图.四、正方体中的基本截面类型【典例1】用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（）A．直角三角形B．直角梯形C．正五边形D．正六边形【答案】ABC【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为五边形时，不可能出现正五边形；截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：ABC．【典例2】已知正四棱柱1111ABCDABCD中，1124BEBB，143ABAA，则该四棱柱被过点1A，C，E的平面截得的截面面积为______.【答案】1219【分析】在1DD上取点F，使得12DF，连接1,AFCF，则四边形1AECF是平行四边形，由勾股定理可得11,,AECEAC，再结合余弦定理与面积公式即可求解【详解】由题意，正四棱柱1111ABCDABCD中，1124BEBB，143ABAA，可得1118,2AABBCCBE，在1DD上取点F，使得12DF，连接1,AFCF，则有11,//AFCEAFCE，所以四边形1AECF是平行四边形，由勾股定理可得2222222116662,26210,668234AECEAC，二、题型精讲精练所以222111172401365cos210262210AECEACAECAECE,所以195sin10AEC，所以四边形1AECF是平行四边形的面积为1195sin62210121910AEECAEC，故答案为：1219【典例3】如图，在正方体1111ABCDABCD中，4AB，E为棱BC的中点，F为棱11AD的四等分点（靠近点1D），过点,,AEF作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.【答案】95252133【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点,,AEF的正方体的截面，从而求截面的周长.【详解】如图，取11CD的中点H，取1CC上靠近点1C的三等分点G，连接,,,,AEEGGHHFFA，易证//,//AEHFAFEG，则五边形AEGHF为所求截面.因为4AB，所以111182,3,1,3BECECHDHAFDFCG，143CG则1025,3AEEG，213,5,5,3GHHFAF故该截面的周长是95252133AEEGGHHFAF.故答案为：95252133.【典例4】已知三棱锥ABCD的所有棱长均相等，四个顶点在球O的球面上，平面经过棱AB，AC，AD的中点，若平面截三棱锥ABCD和球O所得的截面面积分别为1S，2S，则12SS（）A．338B．3316C．38D．364【答案】B【分析】根据平面截三棱锥ABCD所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解.【详解】设平面截三棱锥ABCD所得正三角边长为a，截面圆的半径为r，则2134Sa，由正弦定理可得23sin603ara，22243πaSπr，123316SSπ，故选：B【题型训练-刷模拟】1.截面形状问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形2．（2023·全国·高三专题练习）已知在正方体1111ABCDABCD中，E，F，G分别是AB，1BB，11BC的中点，则过这三点的截面图的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形3．（2023·全国·高三专题练习）已知在长方体1111ABCDABCD中，12ABBBBC，点P，Q，T分别在棱1BB，1CC和AB上，且13BPBP，13CQCQ，3BTAT，则平面PQT截长方体所得的截面形状为（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形4．（2023秋·江苏南京·高三统考开学考试）在正方体1111ABCDABCD中，过点B的平面与直线1AC垂直，则截该正方体所得截面的形状为（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形5．（2023·河南·模拟预测）在正方体1111ABCDABCD中，M，N分别为AD，11CD的中点，过M，N，1B三点的平面截正方体1111ABCDABCD所得的截面形状为（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形6．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的棱长为20的正方体1111ABCDABCD中，点M为CD的中点，点P在侧面11ADDA上，且到11AD的距离为6，到1AA的距离为5，则过点P且与1AM垂直的正方体截面的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形7．（2023·上海·高三统考学业考试）如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定2.求截面的面积一、单选题1．（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）在正方体1111ABCDABCD中，棱长为3，E为棱1BB上靠近1B的三等分点，则平面1AED截正方体1111ABCDABCD的截面面积为（）A．211B．411C．222D．4222．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为2，M、N分别为11AB、11BC的中点，过M、N的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（）A．22B．25C．3102D．923．（2023·安徽蚌埠·统考一模）如图，正方体1111ABCDABCD的一个截面经过顶点,AC及棱11AB上一点K，截面将正方体分成体积比为2:1的两部分，则11AKKB的值为（）A．23B．512C．512D．352-4．（2023春·全国·高一专题练习）已知三棱锥PABC的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为2π，则球O的半径为（）．A．1B．2C．22D．2或225．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若球O是正三棱锥ABCD的外接球，3,23BCAB，点E在线段BA上，3BABE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（）A．8π3B．2πC．4π3D．π6．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O是正三棱锥ABCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，3BC，2AB，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（）A．3π4B．2π3C．π2D．π47．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，,MN分别为棱111,ADDD的中点，过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（）A．π6B．π4C．3π8D．π28．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在三棱锥VABC中，BV平面VAC，1VA，2ABAC，2cos2VAC，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥VABC的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，CF（）A．103B．52C．174D．1339．（2023·安徽合肥·统考一模）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为4，M，N分别是侧面1CD和侧面1BC的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体1AC所得的截面记为S，则S的面积为（）A．53B．46C．76D．9610．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在三棱锥ABCD中，22,90ABBCCDDAADCABC，平面ABC平面ACD，三棱锥ABCD的所有顶点都在球O的球面上，,EF分别在线段,OBCD上运动（端点除外），2BECF.当三棱锥EACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（）A．πB．3πC．3π2D．2π11．（2023·江苏·高一专题练习）已知正四棱锥SABCD的底面边长为2，侧棱长为22，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥SABCD所得的截面面积为（）A．433B．463C．423D．8312．（2023春·湖北武汉·高一武汉市第十一中学校考阶段练习）已知正四棱锥PABCD的体积为36，底面ABCD的面积为18，点E、F分别为PA、PC的中点，点G为PB的靠近点B的三等分点，过点E、F、G的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（）A．2455B．1655C．1255D．35二、填空题13．（2023春·河北保定·高一定州一中校考阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，若E为棱1BB的中点，则平面1AEC截正方体1111ABCDABCD的截面面积为．14．（2022·广西桂林·校联考二模）在三棱锥ABCD中，对棱51310ABCDADBCACBD，，，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为.15．（2019春·上海·高二上海市新中高级中学校考阶段练习）如图，在正方体1111-ABCDABCD中，AB＝1，1DD中点为Q，过1AQB、、三点的截面面积为．16．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）在正四棱台1111ABCDABCD中，112ABAB，123AA，M为棱11BC的中点，当正四棱台的体积最大时，平面MBD截该正四棱台的截面面积是.17．（20