素养拓展26 立体几何中的轨迹问题（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展26立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为θ(0θ90°),圆雉的母线与轴的夹角为090,如图②.(1)当时,截口曲线为椭圆;(2)当时,截口曲线为抛物线;(3)当时,截口曲线为双曲线.图②我们再从几何角度来证明.(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点12,FF.在截口曲线上任取一点P,过点P作圆雉的母线,分别与两球切于点12,QQ.由球的性质可知2112,PQPFPQPF,于是121212PFPFPQPQQQ为定值,这样截口曲线上的任一点P到两个定点12,QQ的距离之和为一、知识点梳理常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点12,FF.在截口曲线上任取一点P,过点P作圆雉的母线,分别与两球切于点12,QQ.由球的性质可知1122,PQPFPQPF,于是121212PFPFPQPQQQ为定值,这样截口曲线上的任一点P到两个定点12,QQ的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.(3)如图⑤,用平行于母线OM且垂直于轴截面OMN的平面去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面相切,球与截面切于点F.设为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记l.在截口曲线上任取一点P,作直线与球相切于点T,连结PT,有PFPT.在母线OM上取点,AB(B为OM与球的切点),使得ABPT.过点P作//PQAB,有点Q在l上,且FQABPF.另一方面,因为平面OMN与垂直,那么l平面OMN,有lAB,所以lPQ.于是截口曲线是以点F为焦点,l为准线的抛物线.1.平行、垂直有关的的轨迹问题①平行有关的轨迹问题的解题策略1.线面平行转化为面面平行得轨迹;2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.②垂直有关的轨迹问题的解题策略1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2.利用空间坐标运算求轨迹;3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1】如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（）A．3aB．2aC．32aD．22a【答案】D【分析】连接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，证得面A1BD∥面GHN，由已知得点M须在线段GH上运动，即满足条件，由此可得选项.【详解】解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点，则GH∥BA1，HN∥BD，又GH面A1BD，BA1面A1BD，所以//GH面A1BD，同理可证得//NH面A1BD，又GHHNH，∴面A1BD∥面GHN，又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD，则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=22a，则点M轨迹的长度是22a.【典例2】在正方体1111ABCDABCD中，Q是正方形11BBCC内的动点，11AQBC，则Q点的轨迹是（）A．点1BB．线段1BCC．线段11BCD．平面11BBCC【答案】B二、题型精讲精练【分析】如图，连接1AC,证明1BC1BQ,又1BC1BC，即得解.【详解】如图，连接1AC,因为111111111111,,,,BCAQBCABAQABAAQAB平面11ABQ,所以1BC平面11ABQ,又1BQ平面11ABQ,所以1BC1BQ,又1BC1BC.所以点Q在线段1BC上.故选：B2.距离、角度有关的的轨迹问题①距离有关的轨迹问题的解题策略1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;3.利用空间坐标系计算求轨迹.【典例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线【答案】D【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，求出点P的轨迹方程即可判断.【详解】如图示，过P作PE⊥AB与E，过P作PF⊥AD于F，过F作FG∥AA1交A1D1于G，连结PG，由题意可知PE=PG以D为坐标原点建立空间直角坐标系Dxyz，设,,0Pxy，由PE=PG得：2211xy，平方得：2211xy即点P的轨迹是双曲线.故选：D.【典例4】正方体1111ABCDABCD中，M，N分别为AB，11AB的中点，P是边11CD上的一个点（包括端点），Q是平面1PMB上一动点，满足直线MN与直线AN夹角与直线MN与直线NQ的夹角相等，则点Q所在轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：Q点轨迹为以AN为母线，MN为轴，AB为底面直径的圆锥体，及其关于11AB反向对称的锥体与平面1PMB的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断Q所在轨迹的形状.【详解】由题设，Q点轨迹为以AN为母线，MN为轴，AB为底面直径的圆锥体，及其关于11AB反向对称的锥体与平面1PMB的交线，如下图示：当P是边11CD上移动过程中，只与下方锥体有相交，Q点轨迹为抛物线；当P是边11CD上移动过程中，与上方锥体也有相交，Q点轨迹为双曲线；故选：D3.翻折有关的的轨迹问题①翻折有关的轨迹问题的解题策略1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3.可以利用空间坐标运算求轨迹【典例5】1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA与小球相切．若15AA，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A．23B．45C．13D．25【答案】A【分析】设21AFx，从而可得15AA，122AAx，23AAx，利用勾股定理可得10x，再由离心率的定义即可求解.【详解】在21RtAAA中，设21AFx，2DAx15AA，122AAx，23AAx，2225(2)(3)xx，10x，∴长轴长12212AAa，6a，624c则离心率23cea.故选：A【题型训练2-刷模拟】1.平行、垂直有关的的轨迹问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为（）A．62B．62C．4D．512．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱1111ABCDABCD中，1AB，14AA，E为1DD中点，P为正四棱柱表面上一点，且11CPBE，则点P的轨迹的长为（）A．52B．222C．252D．1323．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体1111ABCDABCD中，点P满足14AAAP，E，F分别为棱BC，CD的中点，点Q在正方体1111ABCDABCD的表面上运动，满足1//AQ面EFP，则点Q的轨迹所构成的周长为（）A．5373B．237C．7373D．83734．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体1111ABCDABCD的棱长为2，E，F分别为1AA，AB的中点，点P是正方体表面上的动点，若1//CP平面1CDEF，则P点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（）A．25B．225C．225D．22255．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，,MN分别为1BD，11BC的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足//MP平面1CND，则下列说法正确的是（）A．点P可以是棱1BB的中点B．线段MP的最大值为32C．点P的轨迹是正方形D．点P轨迹的长度为256．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD，M是1BB的中点，动点P在正方体内部或表面上，且//MP平面1ABD，则动点P的轨迹所形成区域的面积是（）A．22B．2C．1D．2二、填空题7．（2023·全国·高三专题练习）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知π,23AOCOA，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足BCAD，则点D的轨迹所围成图形的面积为．8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为3，动点P在1ABCV内，满足15DP，则点P的轨迹长度为．9．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若点M是棱长为32的正方体1111ABCDABCD的内切球O的球面上的动点，点N为棱11BC上的一点，且112NBNC，DMBN，则动M点的轨迹的长度为．2.距离、角度有关的的轨迹问题一、单选题1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知长方体1111ABCDABCD的外接球的表面积为5π，12AA，点P在四边形11AACC内，且直线BP与平面11AACC所成角为π4，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为（）A．πB．2π2C．π2D．2π42．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为π3，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足OQOP，则动点Q形成轨迹的周长为（）A．2π11B．3π11C．4π11D．5π113．（2023·山东淄博·统考三模）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且60AOB，球体O表面上动点P满足2PAPB，则点P的轨迹长度为（）A．1211π11B．415π5C．614π7D．1213π134．（2023·全国·高三专题练习）在正方体1111ABCDABCD中，E为11AD的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为60．若该正方体外接球的表面积为12π，则动点F的轨迹长度为（）．A．43π9B．33πC．23π3D．43π35．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知三棱锥PABC的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为163，若该三棱锥的外接球O的半