素养拓展3 与大学高等数学接轨的三类函数（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展03与大学高等数学接轨的三类函数（精讲+精练）高考数学与高等数学知识(如欧拉公式、高斯函数、狄利克雷函数)的接轨，常以小题的形式呈现，意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养．因此在复习备考中，有意识地加强这方面的训练是很有必要的，这有利于培养个人的探究、创新精神，拓宽思维，提升核心素养．【题型训练】1.欧拉公式1．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（EulerFormula）iπe10被数学家们称为“宇宙第一公式”.（其中无理数e2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274），如果记e小数点后第n位上的数字为m，则m是关于n的函数，记为mfn.设此函数定义域（domain）为A，值域（range）为B，则关于此函数，下列说法正确的有（）A．58fB．函数fn的图像是一群孤立的点C．n是m的函数D．BA2．（单选题）（2023·全国·高三专题练习）欧拉公式（EulerFormula）iπe10被数学家们称为“宇宙第一公式”.（其中无理数e2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821785251664274），如果记e小数点后第n位上的数字为m，则m是关于n的函数，记为mfn.设此函数定义域（domain）为A，值域（range）为B，则关于此函数，下列说法正确的有（）A．58fB．函数fn的图像是一群孤立的点C．n是m的函数D．BA3．（填空题）（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）欧拉公式icosisine，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，二、题型精讲精练一、知识点梳理被誉为“数学中的天桥”，已知数列{}na的通项公式为ππcosisin(1,2,3,)20222022nnnan，则数列{}na前2022项的乘积为__.2.高斯函数一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数yx，x表示不超过x的最大整数，例如1.11，21.1.已知4fxxx，1,62x，则函数fx的值域为（）A．4,6,8B．4,5,6C．4,5,6,7,8D．4,82．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉．函数fxx称为高斯函数，其中xR，x表示不超过x的最大整数，例如：21.1，2.52，则方程214xxx的所有解之和为（）A．12B．34C．32D．743．（2023春·宁夏银川·高三银川一中校考期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：yxxR，x表示不超过x的最大整数，如1.62，1.61，22，已知e11e12xxfx，则函数yfx的值域为（）A．0B．1,0C．1,0,1D．2,1,04．（2023秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数.例如：3.64,3.63.已知函数1e21exxfx，则函数yfxfx的值域是（）A．1,0B．0C．0,1D．1,0,1二、多选题1．（2023春·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，如：1.21，1.22，yx又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A．Rx，22xxB．Rx，1[][2]2xxxC．,xyR，若[][]xy，则有1xyD．方程23[]1xx的解集为{7,10}2．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考开学考试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用x表示不超过的最大整数，则yx称为高斯函数，例如3.24，2.32．已知函数21122xxfx，则关于函数gxfx的叙述中正确的是（）A．fx是奇函数B．fx在R上是减函数C．gx的值域是1,0D．3333log1log2log3log2438573.狄利克雷函数一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷函数与黎曼函数是两个特殊函数，狄利克雷函数为1,,()0,,xDxxQQRð黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式为1,,,,()0,0,1,qqxpqRxpppx为正整数是不可以再约分的真分数和无理数则12DR（）A．1B．0C．2D．222．（2023·全国·高三专题练习）德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷（1805年2月13日~1859年5月5日），对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》《定积分》等.狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为1,,0,,xDxx为有理数为无理数则下列关于狄利克雷函数()Dx的判断错误的是（）A．对任意有理数t，()()DxtDxB．对任意实数x，(())1DDxC．()Dx既不是奇函数也不是偶函数D．存在实数x，y，()()()DxyDxDy二、多选题1．（2023秋·江西上饶·高三统考期末）函数1,Q0,QxDxx被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（）A．函数Dx的值域为0,1B．若01Dx，则021DxC．若120DxDx，则12xxQD．0xR，021Dx2．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人,并且是有意识地“以概念代替直觉”的人．在狄利克雷之前,数学家们主要研究具体函数,进行具体计算,他们不大考虑抽象问题,但狄利克雷之后,人们开始考虑函数的各种性质,例如奇偶性、单调性、周期性等．1837年,狄利克雷拓广了函数概念,提出了自变量x与另一个变量y之间的现代观念的对应关系,并举出了个著名的函数——狄利克雷函数:1,Q0,QxDxxRð,下列说法正确的有（）A．1DxDxB．DDxDxC．Dx是偶函数D．Dx的值域为01yy3．（2023·全国·高三专题练习）狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若1,Q()0,Qxfxx，其中Q为有理数集，则称fx为狄利克雷函数.对于狄利克雷函数fx，下面4个命题中真命题是（）A．对任意xR，都有1ffxB．对任意xR，都有0fxfxC．对任意1Rx，都存在2Qx，121()fxxfxD．若a0，1b，则有|xfxaxfxb三、填空题1．（2023春·重庆酉阳·高三重庆市酉阳第二中学校校考阶段练习）德国著名数学家狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，他定义了一个函数1,,0,,xDxx是有理数是无理数有如下四个结论：①0DDx；②函数Dx是偶函数；③函数Dx具有单调性；④已知点0,0,2,2,22,22,2,2ADBDCDED，则四边形ABCE为平行四边形.其中所有正确结论的序号是__________.