素养拓展34 圆锥曲线中的定点、定值问题 （原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展34圆锥曲线中的定点、定值问题（精讲+精练）一、定点问题定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．【一般策略】①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等.②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程.③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程二、定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．【一般策略】①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值【常用结论】结论1过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）.结论2过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点.结论3过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.结论4过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值.结论5设点A，B是椭圆（ab0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=-一、知识点梳理【典例1】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：222210xyabab的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，3AFFB，3AFFB．(1)求椭圆C的方程；(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、1k、2k.若121kkk，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．【解析】（1）由题意知，,0Aa，,0Ba，,0Fc，∵3AFFB，=3AFFB，∴+=3+=3acacacac，解得=2=1ac，从而222==3bac，∴椭圆C的方程为22143xy.（2）设直线l的方程为ykxm，11Mxy，，22Nxy，．直线l不过点A，因此2+0km．由22+=143=+xyykxm，得2223+4+8+412=0kxkmxm，Δ0时，1228+=3+4kmxxk，2122412=3+4mxxk，∴121212121212122242224kxxkmxxmyykkxxxxxx22222241282+2++43+43+4=4128+2+43+43+4mkmkkmmkkmkmkk221223==244+4mkmkmkmk，由121kkk，可得3=2kmk，即5mk，故l的方程为5ykxk，恒过定点5,0．二、题型精讲精练【典例2】已知椭圆22221(0)xyabab，离心率为12，点(0,2)G与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点直线OM，ON的斜率之积等于34，试探求OMN的面积是否为定值，并说明理由．【解析】解：（1）椭圆22221(0)xyabab离心率为12，即12cea，点(0,2)G与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，2a，1c，3b，故椭圆方程为22143xy．（2）由直线与椭圆交于M，N两点，联立22143ykxmxy，得222(34)84(3)0kxkmxm，设1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，则△22222(8)16(34)(3)48(43)0kmkmkm，122834kmxxk，21224(3)34mxxk，所以22222222221212121222121212()()()4(3)8(34)3(4)34(3)4(3)4OMONyykxmkxmkxxmkxxmkmkmmkmkkkxxxxxxmm，22243mk，222221222434343||||1||11342kmmMNkxxkkkm，原点O到l的距离2||1mdk，222||143||||132221OMNMNmmSdkmk为定值．【题型训练1-刷真题】一、解答题1．（22·23·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay的离心率是53，点2,0A在C上．(1)求C的方程；(2)过点2,3的直线交C于,PQ两点，直线,APAQ与y轴的交点分别为,MN，证明：线段MN的中点为定点．2．（21·22·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过30,2,,12AB两点．(1)求E的方程；(2)设过点1,2P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH．证明：直线HN过定点．3．（21·22·全国·专题练习）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为3,0F，右准线l的方程为：12x．(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上任取三个不同点123,,PPP，使122331PFPPFPPFP，证明：123111FPFPFP为定值，并求此定值．4．（19·20·山东·高考真题）已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点2,1A．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得DQ为定值．【题型训练2-刷模拟】1.定点问题一、解答题1．已知抛物线2:20Cypxp经过点2,22M，直线l与抛物线相交于不同的A、B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)如果4OAOB，直线l是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．2．已知椭圆C的两个焦点分别为12(3,0),(3,0)FF，离心率为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)M为椭圆C的左顶点，直线l与椭圆C交于,AB两点，若MAMB，求证：直线AB过定点．3．设抛物线C的方程为2xy，点M为直线:(0)lymm上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．(1)当M的坐标为10,4时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；(2)求证：直线AB恒过定点．4．已知圆22:(1)8Exy，(1,0)F为圆E内一个定点，P是圆E上任意一点，线段FP的垂直平分线l交EP于点Q，当点P在圆E上运动时.(1)求点Q的轨迹C的方程；(2)已知圆O：2223xy在C的内部，,AB是C上不同的两点，且直线AB与圆O相切.求证：以AB为直径的圆过定点.5．已知椭圆2222:10xyEabab的左焦点为12,0F，且点6,1在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上、下顶点分别为,MN，点,4R,0Pnnn，若直线,PMPN与椭圆E的另一个交点分别为点,ST，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.6．已知双曲线2222:10,0xyEabab的一条渐近线方程为30xy，焦点到渐近线的距离为1.(1)求E的方程；(2)过双曲线E的右焦点F作互相垂直的两条弦（斜率均存在）AB、CD.两条弦的中点分别为P、Q，那么直线PQ是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.7．在平面直角坐标系中，1,0A，10B,，M为平面内的一个动点，且4BM，线段AM的垂直平分线交BM于点N，设点N的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设动直线l：ykxm与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线4x相交于点Q，问是否存在定点H，使得以PQ为直径的圆恒过点H？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由.8．已知0,1P为椭圆2222:1(0)xyCabab上一点，点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)不经过点P的直线l与椭圆C相交于,AB两点，若直线PA与PB的斜率之和为1，证明：直线l必过定点，并求出这个定点坐标．9．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为2,0F，点62,3在C上．(1)求椭圆C的方程；(2)过F的两条互相垂直的直线分别交C于,AB两点和,PQ两点，若,ABPQ的中点分别为,MN，证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标．10．在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C经过点2,4.(1)求C的方程；(2)若C关于x轴对称，焦点为F，过点4,2且与x轴不垂直的直线l交C于M，N两点，直线MF交C于另一点A，直线NF交C于另一点B，求证：直线AB过定点.11．平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2222:1yxCab（0,0ab）的离心率为2，实轴长为4．(1)求C的方程；(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点(0,)Pt且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若直线,ANOM的斜率,ANOMkk满足1ANOMkk，求点P的坐标．12．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，过点3,12B且与椭圆22198yx有相同焦点(1)求E的离心率：(2)设椭圆E的下顶点为A，设过点1,2P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T．证明：直线TN过定点．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点(0,3)F，直线43:3ly，设动点G到直线l的距离为d，且32GFd．(1)求动点G的轨迹C的方程，并指出它表示什么曲线；(2)已知过点(1,2)A的直线与曲线C交于,PQ两点，点(1,0)B，直线,BPBQ与y轴分别交于点,MN，试问：线段MN的中点是否为定点，若是定点，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．14．已知0,1P为椭圆C：222210xyabab上一点，长轴长为22.(1)求椭圆C的标准方程；(2)不经过点P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线PA与PB的斜率之和为1，证明：直线l必过定点，并求出这个定点坐标.15．椭圆2222Γ:1(0)xyabab的左､右焦点分别为12,FF，左､右顶点分别为,AB，点P在Γ上.已知1APF△面积的最大值为32，且APB△与12FPF△的面积之比为2:1.(1)求Γ的方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l交Γ于,MN两点，,MN与A不重合，直线AM与AN的斜率之积为328.证明：l过定点.2.定值问题一、解答题1．已知12,0,,0FcFc为椭圆E的两个焦点，A为椭圆E上异于左､右顶点的任意一点，12AFF△的周长为6，面积的最大值为3：(1)求椭圆E的方程；(2)直线1AF与椭圆E的另一交点为B，与y轴的交点为M.若11MAAF，12MBBF.试问：12是否为定值？并说明理由.2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为C的动圆过点2,0，且在y轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)已知1,2A及曲线E上的两点B和D，直线BD经过定点3,2，直线ABAD、的斜率分别为12kk、，求证：12kk为