素养拓展35 圆锥曲线中的定直线问题 （原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展35圆锥曲线中的定直线问题（精讲+精练）一、定直线问题定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.【一般策略】①联立方程消去参；②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；③将横纵坐标分别用参数表示，再消参；④设点，对方程变形解得定直线.解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点00,Pxy在某定直线．目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况：（1）0xa，即动点恒过直线xa．（2）0yb，即动点恒过直线yb．（3）00yfx，即动点恒过直线()yfx．【典例1】设动直线:lykxm与椭圆C：22143xy有且只有一个公共点P，过椭圆C右焦点1F作1PF的垂线与直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，求出定直线的方程．【解析】证明∵直线l与椭圆相切，联立22143ykxmxy得2224384120kxkmxm．∴2222644412430kmmk．二、题型精讲精练一、知识点梳理∴222243043kmmk．切点坐标2244443Pkmkmkxkmm，243PPkykxmmmm，即43,kPmm，∴133441PFmkkkmm，143QFkmk．∴1FQ方程为4(1)3kmyx．联立4(1)3kmyxykxm，∴(4)(1)3()4433()4()kmxkxmkxmxkmkxmkmxkm，解得4x．∴Q在4x这条定直线上．【题型训练1-刷真题】一、解答题1．（22·23·全国·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为25,0，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为1A，2A，过点4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线1MA与2NA交于点P．证明:点P在定直线上.【题型训练2-刷模拟】一、解答题1．已知曲线22:(5)(2)8(R)Cmxmym．(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．(2)设4m，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线:4lykx与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．2．已知点1,0A，10B,，动点,Pxy满足直线PA与PB的斜率之积为3，记动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点2,0F的直线与曲线C交于,MN两点，直线AM与BN相交于Q．求证：点Q在定直线上．3．已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点61,2，且离心率为22．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线:2lymx与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使MPMQ且MPMQ，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．4．已知A，B为椭圆22221xyab左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为2,1时，3DF．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C的坐标为4,0，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．5．椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为2,0A，2,0B，点1,6在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程．(2)过点1,0的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．6．已知13,0A和23,0A是椭圆2222:1(0)xyabab的左、右顶点，直线l与椭圆相交于M，N两点，直线l不经过坐标原点O，且不与坐标轴平行，直线1AM与直线2AM的斜率之积为59．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线OM与椭圆的另外一个交点为S，直线1AS与直线2AN相交于点P，直线PO与直线l相交于点Q，证明：点Q在一条定直线上，并求出该定直线的方程．7．已知抛物线212(0)Cxpyp：和圆22212Cxy：，倾斜角为45°的直线1l过1C的焦点且与2C相切．(1)求p的值：(2)点M在1C的准线上，动点A在1C上，1C在A点处的切线l2交y轴于点B，设MNMAMB，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．8．已知双曲线C：222210,0xyabab的离心率为2，过点1,0E的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且AB4，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由9．已知双曲线C：222210,0yxabab，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为6,4.(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，PMPN，MQQN均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.10．已知椭圆222:12xyCb的离心率为22．(1)求椭圆C的方程；(2)当椭圆的焦点在x轴上时，直线:1lykx与椭圆的一个交点为P（点P不在坐标轴上），点P关于x轴的对称点为Q，经过点Q且斜率为22的直线与l交于点M，点N满足PNx∥轴，MNx轴，求证：点N在直线212yx上．11．已知点A为圆22:21060Cxyx上任意一点，点B的坐标为10,0，线段AB的垂直平分线与直线AC交于点D．(1)求点D的轨迹E的方程；(2)设轨迹E与x轴分别交于12,AA两点（1A在2A的左侧），过3,0R的直线l与轨迹E交于,MN两点，直线1AM与直线2AN的交于P，证明：P在定直线上．12．在平面直角坐标系中，已知两定点4,0A，4,0B，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且22MNANNB．(1)求动点M的轨迹；(2)设过0,1P的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为1k，2k，0k，且满足120112kkk．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．13．已知抛物线2:20Cypxp的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于11,Mxy，2221,Nxyxx两点．(1)若122xxp，求MFNF的值；(2)若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；(3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由．14．过抛物线22(0)xpyp内部一点,Pmn作任意两条直线,ABCD，如图所示，连接,ACBD延长交于点Q，当P为焦点并且ABCD时，四边形ACBD面积的最小值为32(1)求抛物线的方程；(2)若点1,1P，证明Q在定直线上运动，并求出定直线方程.15．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为25,0，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为1A，2A，过点4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线1MA与2NA交于点P．证明:点P在定直线上.16．已知抛物线2:20Eypxp，过点1,0的两条直线1l、2l分别交E于A、B两点和C、D两点．当1l的斜率为12时，210AB．(1)求E的标准方程；(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G在定直线上．17．已知抛物线E：22ypx（p0），过点2,0的两条直线l1，l2分别交E于AB两点和C，D两点．当l1的斜率为23时，13.AB(1)求E的标准方程：(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．