素养拓展36 圆锥曲线与向量交汇问题 （原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展36圆锥曲线与向量交汇问题（精讲+精练）一、向量共线运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决.【一般策略】通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题.二、向量的数量积向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取值范围和求圆锥曲线的方程等方面.【一般策略】在圆锥曲线问题中运用向量的数量积，往往题目中出现了向量的数量积或构造向量的数量积，通过向量的数量积的表达式、意义和运算性质，从而达到将问题简化.三、相应的知识储备1.共线向量定理如果()abR，则//ab；反之，如果//ab且0b，则一定存在唯一的实数，使ab．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2.数量积的运算（1）已知非零向量11()xy，a，22()xy，b，为向量a、b的夹角．结论几何表示坐标表示模||aaa22|xya|数量积||||cosabab1212xxyyab夹角cos||||abab121222221122cosxxyyxyxy一、知识点梳理ab的充要条件0ab12120xxyy∥ab的充要条件0（）abb12210xyxy||ab与||||ab的关系||||||abab(当且仅当ab∥时等号成立)1212||xxyy≤22221122xyxy(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线【典例1】已知点0,2A，椭圆2222:10xyEabab的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，且12APAQ，求OPQ△的面积及直线l的方程．【解析】（1）设,0Fc，因为直线AF的斜率为233，0,2A，所以2233c，解得3c．又22232cabac，解得21ab，所以椭圆E的方程为2214xy．（2）设11,Pxy、22,Qxy，由题意可设直线l的方程为：2ykx，联立22142xyykx，消去y得22(14)16120kxkx，当216(43)0k，所以234k，即32k或32k时，1221614kxxk，1221214xxk，由12APAQ，得212xx，代入上解得22122216614914kxkk，即2273204k，又22121214PQkxxxx2222222164841431141414kkkkkkk二、题型精讲精练点O到直线l的距离221dk，所以221443152144OPQkSdPQk△，此时直线l的方程为：315210yx或315210yx．【典例2】已知双曲线C的渐近线为430xy，右焦点为5,0F，右顶点为A.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当0AMAN时，求直线l的方程.【解析】（1）双曲线C的渐近线430xy化为034xy，设双曲线C的方程为22(0)916xy，即221916xy，又双曲线C的右焦点(5,0)F，则29165，解得1，所以双曲线C的标准方程为221916xy.（2）由（1）知，(3,0)A，设直线l的方程为1122,,,,yxmMxyNxy，显然3m，由221916xyyxm消去y整理得2271891440xmxm，显然0，21212189144,77mmxxxx，而11223,,3,AMxyANxy，则121233AMANxxxmxm212122(3)9xxmxxm222914418(3)907mmmm，化简得27542250mm，即(775)(3)0mm，而3m，解得757m，所以直线l的方程为757yx，即77750xy.【题型训练-刷模拟】1.向量共线一、解答题1．已知平面内动点,Mxy与定点1,0F的距离和M到定直线4x的距离的比是常数12．(1)求动点M的轨迹方程；(2)设动点M的轨迹为曲线C，过定点1,0F的直线l和曲线C交于不同两点A、B满足2AFFB，求线段AB的长．2．已知椭圆C：222210xyabab的离心率12e，点1F，2F为椭圆C的左、右焦点且经过点1,0Fc的最短弦长为3．(1)求椭圆C的方程；(2)过点1F分别作两条互相垂直的直线1l，2l，且1l与椭圆交于不同两点A，B，2l与直线xc交于点P，若11AFFB，且点Q满足QAQB，求PQ的最小值．3．经过点(2,4)A且倾斜角为135的直线与抛物线22(0)ypxp交于M，N两点，且AMMN，1ANMN，0．求p和．4．已知双曲线C：222210,0xyabab的渐近线方程为33yx，且过点6,1．(1)求双曲线C的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且20MQQF，求直线l的斜率．5．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点2,0F(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若2MQQF，求直线l的方程．6．已知双曲线2222:10,0xyEabab的两条渐近线分别为1:2xly，2:2xly.(1)求双曲线E的离心率；(2)O为坐标原点，过双曲线上一点22,1P作直线l分别交直线1l，2l于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且2PBAP，求AOB的面积.7．已知圆221:(3)9Cxy，222:(3)1Cxy，动圆M与圆1C，2C均外切，记圆心M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)直线l过点2C，且与曲线C交于,AB两点，满足223ACCB，求直线l的方程．8．已知1F，2F分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线2214xy在第一象限与椭圆C相交于点P，且21PF．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线1ykx与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且0ODmOBm．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．9．已知椭圆Γ：22210,22xymmm，点,AB分别是椭圆Γ与y轴的交点（点A在点B的上方），过点0,1D且斜率为k的直线l交椭圆于,EG两点．(1)若椭圆焦点在x轴上，且其离心率是22，求实数m的值；(2)若1mk，求BEG的面积；(3)设直线AE与直线2y交于点H，证明：,,BGH三点共线．10．已知抛物线21:(0)Cypxp的焦点为1F，抛物线22:2Cypx的焦点为2F，且1212FF.(1)求p的值；(2)若直线l与1C交于,MN两点，与2C交于,PQ两点，,MP在第一象限，,NQ在第四象限，且2MPNQ，求MNPQ的值.11．已知双曲线C：222210,0yxabab，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为6,4.(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，PMPN，MQQN均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.12．椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，与y轴相交于(0,)Mm点，若存在实数m，使得34OAOBOM+=，求m的取值范围．13．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，点1F，2F为C的左、右焦点，经过1F且垂直于椭圆长轴的弦长为3.(1)求椭圆C的方程；(2)过点1F分别作两条互相垂直的直线1l，2l，且1l与椭圆交于A，B两点，2l与直线1x交于点P，若11AFFB，且点Q满足QAQB，求线段PQ的最小值.14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2．已知双曲线Γ的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线,BECF．(1)建立适当的平面直角坐标系，求Γ的方程；(2)过A的直线l与Γ交于M，N两点，(1)AMAN，若点P满足MPPN，证明：P在一条定直线上．15．已知抛物线21:4Cxy的焦点F也是椭圆22222:1(0)yxCabab的一个焦点，1C与2C的公共弦长为26.(1)求椭圆2C的方程；(2)过点F作斜率为k的直线l与1C交于,AB两点，与2C交于,CD两点，且AC与BD同向.（i）当直线l绕点F旋转时，判断OAB的形状；（ii）若ACBD，求直线l的斜率.16．已知椭圆2222:1(0)xyEabab，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，31,2M是E上一点．(1)求椭圆E的方程；(2)设斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点，D为线段AB的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得20OCOD，求三角形ABC的面积．17．已知双曲线222:1xQya的离心率为52，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点11,Axy位于第一象限，22,Cxy是双曲线Q右支上一点，ABAC，设113,2yDx(1)求双曲线Q的标准方程；(2)求证：C，D，B三点共线；(3)若ABC面积为487，求直线l的方程．18．过坐标原点O作圆22:23Cxy的两条切线，设切点为,PQ，直线PQ恰为抛物线2:20Eypxp的准线.(1)求抛物线E的标准方程；(2)设点T是圆C的动点，抛物线E上四点,,,ABMN满足：2TATM，2TBTN，设AB中点为D.（i）证明：TD垂直于y轴；（ii）设TAB△面积为S，求S的最大值.2.向量的数量积一、解答题1．已知抛物线C：22yx，斜率为k的直线l过定点0,0Mx，直线l交抛物线C于,AB两点，且,AB位于x轴两侧，3OAOB（O为坐标原点），求0x的值．2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点.已知抛物线2:2(0)Cypxp上任意一点,Pxy到焦点的距离比它到y轴的距离大1.(1)求抛物线C的方程；(2)若过点1,0F的直线l与曲线C相交于不同的,AB两点，求OAOB的值；3．已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为32，短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线:55lyxtt交椭圆C于11,Axy，22,Bxy两点，O为坐标原点，若OAOB，求直线l的方程.4．已知椭圆C：222210xyabab的离心率为23，点A，B，D分别是椭圆C的左、右、上顶点，F是C的左焦点，坐标原点O到直线DF的距离为253.(1)