素养拓展37 圆锥曲线中的存在性和探索性问题 （原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展37圆锥曲线中的存在性和探索性问题（精讲+精练）一、圆锥曲线中的存在性问题1.存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．一般步骤为：①假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,②用待定系数法设出,③列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．注：反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．【一般策略】求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.二、圆锥曲线中的探索性性问题1.对于探索性问题,一般先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．要注意：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．【典例1】已知双曲线E：2214xy与直线l：3ykx相交于A、B两点，M为线段AB的中点．(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．二、题型精讲精练一、知识点梳理【分析】（1）设11,Axy，22,Bxy，00,Mxy，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得221424400kxkx，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得2160640k且2140k，即252k且214k，由韦达定理，得1222414kxxk，则021214kxk，02314yk，联立消去k，得22000412xyy，再根据k的范围得出y的范围，即可得出答案；（2）设33,Cxy，44,Dxy，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出3621xk，4621xk，则340212214xxkxk，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则3CDAB，结合弦长公式列式得34123xxxx，即可化简代入得出222212241603141441kkkk，即可解出答案.【详解】（1）设11,Axy，22,Bxy，00,Mxy，联立直线l与双曲线E的方程，得22344ykxxy，消去y，得221424400kxkx．由2160640k且2140k，得252k且214k．由韦达定理，得1222414kxxk．所以120212214xxkxk，20022123331414kykxkk．由02021214314kxkyk消去k，得22000412xyy．由252k且214k，得03y≤或013y．所以，点M的轨迹方程为22412xyy，其中3y或13y．（2）双曲线E的渐近线方程为12yx．设33,Cxy，44,Dxy，联立123yxykx得3621xk，同理可得4621xk，因为340212214xxkxk，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．若A，B为线段CD的两个三等分点，则3CDAB．即223412131kxxkxx，34123xxxx．而22121212222416041414kxxxxxxkk，3426612212141xxkkk．所以，222212241603141441kkkk，解得32k，所以32k，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．【典例2】在平面直角坐标系xOy中,动点,Pxy,满足2222334xyxy,记点P的轨迹为E．（1）请说明E是什么曲线,并写出它的方程；（2）设不过原点O且斜率为12的直线l与E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为T,直线OT与E交于两点C,D,请判断TATB与TCTD的关系,并证明你的结论．【解析】（1）设13,0F,23,0F,则因为2222334xyxy,满足12124PFPFFF,即动点P表示以点1F,2F为左、右焦点,长轴长为4,焦距为23的椭圆,其轨迹的方程为2214xy；（2）可以判断出TATBTCTD,下面进行证明：设直线l的方程为102yxmm,11,Axy,22,Bxy,由方程组221412xyyxm,得222220xmxm①,方程①的判别式为242m,由0,即220m,解得22m且0m．由①得122xxm,21222xxm,所以T点坐标为,2mm,直线OT方程为12yx,由方程组221412xyyx,得22,2C,22,2D,所以2555222224TCTDmmm．又22221212121211544416TATBABxxyyxxxx2225544222164mmm．所以TATBTCTD【题型训练-刷模拟】1.存在性问题一、解答题1．双曲线C：222210,0xyabab的渐近线方程为yx，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求C的方程；(2)是否存在直线l，经过点1,4M且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.2．已知椭圆方程为222210xyabab，过点,0Aa，0,Bb的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32．(1)求椭圆的方程；(2)对于1,0D，是否存在实数k，使得直线2ykx分别交椭圆于点P，Q，且DPDQ，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．3．已知椭圆M：222210xyabab，点11,0F、2,0C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点1F的直线l（不与x轴重合）交椭圆M于A，B两点．(1)求椭圆M的标准方程；(2)若0,3A，求AOB的面积；(3)是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．4．已知抛物线2:4Cxy，直线l垂直于y轴，与C交于,MN两点，O为坐标原点，过点N且平行于y轴的直线与直线OM交于点P，记动点P的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)点A在直线1y上运动，过点A作曲线E的两条切线，切点分别为12,PP，在平面内是否存在定点B，使得12ABPP？若存在，请求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由．5．在直角坐标系xOy中，抛物线2:4xCy与直线(:0)ykxala交于M，N两点．(1)若M，N的横坐标分别为2，4，求直线l的方程及MN的中垂线所在的直线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN?说明理由．6．如图，ABMN、、、为抛物线22yx上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点1,0，直线AN过点2,0(1)记A，B的纵坐标分别为,AByy，求AByy×；(2)记直线AN，BM的斜率分别为12,kk，是否存在实数，使得21kk？若存在，求出的值，若不存在说明理由7．已知椭圆C:22221(0)xyabab过点132，，离心率为32，斜率不为零的直线l过右焦点F交椭圆于,AB两点.(1)求椭圆C的方程；(2)在x轴上是否存在定点(HF与点不重合），使得AHFBHF，如果存在，求出H点坐标，如果不存在，说明理由.8．已知离心率为22的椭圆C的中心在原点O，对称轴为坐标轴，F1，F2为左右焦点，M为椭圆上的点，且1222MFMF．直线l过椭圆外一点(,0)Pm(0)m，与椭圆交于11(,)Axy，22(,)Bxy两点，满足210yy．(1)求椭圆C的标准方程；(2)对于任意点P，是否总存在唯一的直线l，使得12FAFB∥成立，若存在，求出点(,0)Pm对应的直线l的斜率；否则说明理由．9．已知椭圆2222:10xyCabab过点21,2，且上顶点与右顶点的距离为3．(1)求椭圆C的方程；(2)若过点3,0P的直线l交椭圆C于,AB两点，x轴上是否存在点Q使得πPQAPQB，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离是3．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在过点31,2Q的直线交曲线C于AB两点，使得Q为AB中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由．11．已知双曲线:C22210yxbb的左、右焦点分别为1F，2F，A是C的左顶点，C的离心率为2.设过2F的直线l交C的右支于P、Q两点，其中P在第一象限.(1)求C的标准方程；(2)是否存在常数，使得22PFAPAF恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由.12．已知动点M到定点1,0F的距离与动点M到定直线2x的距离之比为22．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)对Rk，曲线C上是否始终存在两点A，B关于直线ykxb对称？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．13．已知抛物线2:2Cypx经过点2,26，直线1:(0)lykxmkm与C交于A，B两点（异于坐标原点O）．(1)若0OAOB，证明：直线1l过定点．(2)已知2k，直线2l在直线1l的右侧，12//ll，1l与2l之间的距离5d，2l交C于M，N两点，试问是否存在m，使得||||10MNAB？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．14．已知椭圆2222:10xyCabab的焦距为2，且经过点31,2P．(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为0kk的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使AFBTBFAT恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由．15．已知双曲线Γ：22143xy的左、右焦点为1F、2F，直线l与双曲线Γ交于11,Axy，22,Bxy两点.(1)已知l过2F且垂直于12FF，求AB；(2)已知直线l的斜率为1，且直线l不过点4,3P，设直线PA、PB的斜率分别为PAk、PBk，求PAPBkk的值；(3)当直线l过2F时，直线1AF交y轴于M，直线1BF交y轴于N.是否存在直线l，使得11FABFMNSS，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.2.探索性问题一、解答题1．已知椭圆E:222210xyabab的左、右焦点分别为13,0F,23,0F,过点1F且斜率为k的直线l与椭圆E交于A,B两点.当A为椭圆E的上顶点时,117AFFB.(1)求椭圆E的标准方程;(2)当12k时,试判断以AB为直径的圆是否经过点2F,并说明理由.2．过抛物线2:2(0)Eypxp焦点F，斜率为1的直线l与抛物线交于A、B两点，||8AB．(1)求抛物线E的方程