素养拓展4 指数、对数、幂值的比较大小（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展04指数、对数、幂值比较大小（精讲+精练）一、常规思路1.①底数相同，指数不同时，如1xa和2xa，利用指数函数xya的单调性；②指数相同，底数不同，如1ax和2ax利用幂函数ayx单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1logax和2logax利用指数函数logax单调性比较大小；注：除了指对幂函数，其他函数（比如三角函数，对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。2.底数、指数、真数、三角函数名都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助“媒介数”进行大小关系的判定.3.通过做差与0的比较来判断两数的大小；通过做商与1的比较来判断两数的大小。二、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用𝑥=ln⁡e𝑥(𝑥∈R),𝑥=eln⁡𝑥(𝑥0)将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(ℎ(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与ℎ(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。常见指数、对数的同构函数有:(1)y=xex与y=xln⁡x;(2)y=exx与y=xln⁡x;(3)y=x+ex与y=ln⁡x+x;(4)y=ex−x与y=x−ln⁡x。3.作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看作变量x,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“x”加以表示,从而可考虑通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.三、放缩法一、知识点梳理1.ln⁡x⩽x−1(x0)；ln⁡x⩾1−1x(x0)2.ex⩾x+1(x∈R)；exxln⁡x(x0);⁡⁡(1−x)ex⩽1(x∈R)⁡3.sin⁡xxtan⁡x(0xπ2)【典例1】设0.4log2a，21log0.3b，0.40.3c，则a，b，c的大小关系为（）．A．abcB．bacC．acbD．cba【答案】A【分析】根据换底公式可得21log0.4a，由对数函数的性质可得0ab，从而可比较大小.【详解】0.421log2log0.4a,因为2logyx在0,上单调递增，所以222log0.3log0.4log10，所以22110log0.4log0.3，即0ab.又0.40.30，所以abc.故选:A.【典例2】已知2log22aaa，3log33bbb，4log44ccc，则（）A．abcB．cabC．cbaD．acb【答案】C【分析】先对等式变形得到lnln22aa，3lnln3bb，lnln44cc，构造lnxfxx，求导得到其单调性，结合ln4ln242，2,4ac，得到4a，2c，由98推出ln3ln232，结合函数单调性求出2eb，从而比较出大小.【详解】由2lnlnln2log2ln222aaaaaa，同理3lnln3bb，lnln44cc，令lnxfxx，21lnxfxx，当ex时，21ln0xfxx，当0ex时，21ln0xfxx，二、题型精讲精练可得函数fx的递减区间为e,，递增区间为0,e，而2e34，又由ln4ln242，2,4ac，可得4a，2c，ln3ln2982ln33ln232，又由e3,3b及fx的单调性，可知2eb，故cba．故选：C．【点睛】关键点点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，变形得到lnln22aa，3lnln3bb，lnln44cc，从而构造lnxfxx，达到比较大小的目的.【典例3】已知1sin3a，0.913b，271log92c，则（）A．acbB．abcC．bacD．cab【答案】A【分析】化简得13c，构造函数()sin,0,2πfxxxx，通过导数可证得sin,0,2πxxx，可得ac，而0.91133bc，从而可得答案．【详解】2711lg912lg31log922lg2723lg33c.设()sin,0,2πfxxxx，则有()cos10fxx，()fx单调递减，从而()(0)0fxf，所以sin,0,2πxxx，故11sin33，即ac，而0.91133bc，故有acb．故选：A．【题型训练1-刷真题】1．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e,ln0.99abc，，则（）A．abcB．cbaC．cabD．acb2．（2021·全国·统考高考真题）设2ln1.01a，ln1.02b，1.041c．则（）A．abcB．bcaC．bacD．cab3．（2020·全国·统考高考真题）已知5584，13485．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．abcB．bacC．bcaD．cab4．（2020·全国·统考高考真题）若2233xyxy，则（）A．ln(1)0yxB．ln(1)0yxC．ln||0xyD．ln||0xy【题型训练2-刷模拟】1.常规思路1．已知0.1log0.2a，lgba，2ac，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．acbC．bcaD．bac2．已知实数0.9e22a，5.1log4b，6log5c，则,,abc的大小关系为（）A．acbB．abcC．bacD．cab3．已知7log6a，7log5b，ln2c，则（）A．abcB．acbC．bacD．cab4．已知6438136log3,log64,log332xyz，则（）A．xyzB．zxyC．yzxD．yxz5．已知32ea，3ln2b，13c则（）A．abcB．bcaC．cabD．acb6．设0.40.30.40.3,0.4,log0.3abc，则a，b，c的大小顺序为（）A．abcB．acbC．bacD．cab2.构造函数一、单选题1．（2023春·北京·高三北京铁路二中校考期中）设2ln2a，3ln3b，ec（e2.718），则a，b，c的大小关系为（）A．cbaB．abcC．bcaD．cab2．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知53e1,,ln82abc，则（）A．abcB．acbC．bcaD．cab3．（2023秋·安徽安庆·高三安徽省怀宁县新安中学校考期末）设1999a，0.0010.001eb，ln0.999c，则（）A．bcaB．cbaC．cabD．acb4．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）设e3a，πeb，3πc，则a、b、c的大小关系为（）A．abcB．bcaC．bacD．cba5．（2023·全国·高三专题练习）0.2ea，7log8b，6log7c，则（）A．abcB．bacC．acbD．cab6．（2023秋·江苏宿迁·高三统考开学考试）已知6767713ln，，eabc则（）A．abcB．bacC．bcaD．acb7．（2023·新疆·统考一模）已知0.1sin0.1,ln1.1,e1abc，则（）A．bacB．cbaC．bcaD．abc8．（2023·新疆乌鲁木齐·高三统考阶段练习）设13a，2log13b，1.52c，则下列正确的是（）A．cbaB．acbC．cabD．bca9．（2023春·浙江杭州·高三学军中学校考阶段练习）已知0.05ae，ln1.112b，1.1c，则（）A．abcB．cbaC．bacD．acb10．（2023·全国·高三专题练习）设20222020a，20212021b，20202022c，则（）A．abcB．bacC．cabD．cba11．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）设2e3e,,e2abc．则a，b，c大小关系是（）A．cbaB．bcaC．bacD．abc12．（2023秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）已知1212a，1234b，ln2ca，则a，b，c的大小关系为（）A．cabB．cbaC．abcD．bac13．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）设253e4a，35b，342e5c，则（）A．bcaB．bacC．cbaD．cab14．（2023·广西河池·校联考模拟预测）设10ln7a，0.30.3eb，37c，则（）A．abcB．bacC．cabD．acb3.放缩法1．（2023·全国·高三专题练习）若2𝑎+log2⁡𝑎=4𝑏+2log4⁡𝑏,则A.𝑎2𝑏B.𝑎2𝑏C.𝑎𝑏2D.𝑎𝑏22．（2023·全国·高三专题练习）已知正数𝑎,𝑏,𝑐满足ln⁡𝑎e𝑎=𝑏e𝑏=𝑐,𝑏1,则(⁡)A.𝑎𝑏𝑐B.𝑏𝑎𝑐C.𝑏𝑐𝑎D.𝑎𝑐𝑏3．（2023·全国·模拟预测）已知π2ea，eeb，2eln2c，试比较a，b，c的大小关系为（）A．bcaB．bacC．cabD．cba28．（2023春·湖北武汉·高三校联考期末）设𝑎=4104，𝑏=ln1.04，𝑐=e0.04−1，则下列关系正确的是（）A．𝑎𝑏𝑐B．𝑏𝑎𝑐C．𝑐𝑎𝑏D．𝑐𝑏𝑎