专题10.4 二项式定理（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题10.4二项式定理题型一利用二项展开式求指定项题型二利用二项展开式求有理项题型三两个多项式乘积的指定项题型四三项展开式的指定项题型五整除和余数问题题型六二项式系数之和及系数之和题型七奇（偶）项系数之和及绝对值型系数之和题型八二项式系数的最值及系数的最值题型九二项式与导数的交汇题型一利用二项展开式求指定项例1．二项式52x展开式中的含3x项的系数为．【答案】-40【分析】根据二项式定理写出展开式通项，利用赋值法，可得答案.【详解】二项式52x展开式的通项为55155C212CrrrrrrrrTxx，令3r，则3223331512C40Txx.故答案为：40.例2．已知多项式34761278(2)(1)(1)(1)1xxaxaxaxa，则7a.【答案】16资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】令1tx，运用换元法将等式变成34761278(1)(2)ttatatata，结合二项展开式的通项公式、赋值即可求得结果.【详解】令1tx，则34761278(1)(2)ttatatata，因为3(1)t的展开式的通项为313CrrrTt，0,1,2,3r，所以令2r可得3(1)t的展开式中一次项为23C3tt，令3r可得3(1)t的展开式的常数项为1，又因为4(2)t的展开式的通项为414C(2)kkkkTt，0,1,2,3,4k，所以令3k可得4(2)t的展开式中一次项为334C(2)32tt，令4k可得4(2)t的展开式的常数项为444C(2)16，所以7163(32)116a.故答案为：16.练习1．已知2nxy的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的52xy项的系数为（）A．―4B．84C．―280D．560【答案】B【分析】根据二项式系数的性质求得7n，再根据二项式展开的通项即可求得指定项的系数.【详解】因为2nxy的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以34CCnn．则7n又因为72xy的展开式的通项公式为771C2rrrrTxy，令2r，所以展开式中的52xy项的系数为227C284．故选：B.练习2．7()xa的展开式中3x的系数为560，则实数a的值为．【答案】2【分析】利用二项展开式的通项即可得出答案．【详解】解：717C()rrrrTxa，令73r，得4r，故44357CTax，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意知447C560a，即435560a，解得2a.故答案为：2.练习3．已知多项式5625601256(2)(1)xxaaxaxaxax，则1a.【答案】74【分析】利用二项展开式的通项分别求得52x和61x的展开式的x项，进而求得1a的值.【详解】对于5(2)x-，其二项展开式的通项为515C(2)rrrrTx，令51r，得4r，故4455C(2)80Txx，对于6(1)x，其二项展开式的通项为616C(1)kkkkTx，令61k，得5k，故5566C(1)6Txx，所以180674a.故答案为：74.练习4．若102910701291021111xxaaxaxaxax，则5a.【答案】231【分析】将1072xx化为7101111xx，后由二项式定理可得答案.【详解】1072xx7101111xx，设711x展开式通项为7171CrrrTx，令752rr，则552371211CTxx.设1011x展开式通项为1011011CrrrrTx，令1055rr，则5555610112521CTxx.则521252231a.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：231练习5．已知二项式51Nnxnx展开式中含有常数项，则满足条件的一个n的值为．【答案】6（答案不唯一）【分析】写出二项式的通项，根据已知列式，求解即可．【详解】二项式51Nnxnx展开式的通项为6*15,1C()C(NN),0,knkkknkknnTxkknxnx，∵51Nnxnx展开式中含有常数项，∴*60,(NN),0,nkknnk有解，∴*),0,6,(NNnkkknn，当1k时，6n．故答案为：6（答案不唯一）．题型二利用二项展开式求有理项例3．已知*2nxxnN的展开式前三项的二项式系数的和等于16.(1)求n的值；(2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)5(2)51Tx，4352Tx，35516Tx【分析】（1）根据题意得到012CCC16nnn，结合组合数的计算公式，即可求解n的值；（2）求得展开式的通项52151TC2rrrrx，结合题意确定r的值，即可求解.【详解】（1）解：由2nxx的展开式前三项的二项式系数的和等于16，资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得012CCC16nnn，即11162nnn，解得5n或6n（舍）所以n的值为5.（2）解：由（1）知，二项式52xx展开式的通项为52151TC2rrrrx，0,1,2,3,4,5r，当52rZ时，可得0,2,4r，此时展开式得到的为有理项，所以展开式中所有的有理项为51Tx，4352Tx，35516Tx.例4．在*413,2nxnnNx的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．(1)证明展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项．【答案】(1)证明见解析(2)2214x和764x【分析】（1）先根据第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列列方程求出n，再写出展开式的通式，令x的次数为0计算即可；（2）求出使x的次数为整数的r，然后代入展开式的通式计算即可.【详解】（1）由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得2132nnnCCC解得2n（舍去）或7n4712xx的展开式的通式为1431747741212rrrrrrrTCxxxC令14304r，得143rN故展开式中没有常数项；（2）令1434rZ，则2r，6r14624223721124xTCx，6671712764xxTC展开式中的有理项为23214Tx和7764Tx资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】练习6．192x的展开式中所有有理项系数之和为（）A．19312B．18312C．19312D．19332【答案】C【分析】根据192x的展开式的通项，要使192119C2rrrrTx为有理项，需1,3,5,,19r，又因为192x的展开式的通项为191911919C2C20,1,,19,mmmmmmmSxxm，则两个二项式的展开式的系数相等，所以问题可以转化为求192x的展开式的所有偶数项的系数之和，然后利用赋值法求解.【详解】192x的展开式的通项为1919211919C2C2,0,1,,19rrrrrrrTxxr，要使192119C2rrrrTx为有理项，需1,3,5,,19r，又因为192x的展开式的通项为191911919C2C20,1,,19,mmmmmmmSxxm，则两个二项式的展开式的系数相等，所以问题可以转化为求192x的展开式的所有偶数项的系数之和，令19219012192xaaxaxax，令1x，则19012193aaaa①，令=1x，则012191aaaa②，则①+②可得：190218312aaa，则192x的展开式中所有有理项系数之和为19312.故选：C．练习7．已知42nxx的展开式中只有第5项的二项式系数最大，写出展开式中的一个有理项．【答案】4x（或1120x，或2256x，写出其中一个即可）【分析】由二项式定理求解【详解】由题意知展开式中共有9项，所以8n，所以842xx的展开式的通项为384418842CC2rrrrrrrTxxx，08r，rZ．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】若1rT为有理项，则344rZ，所以0r，4，8，故展开式中所有的有理项为004418C2Txx，34444458C21120Txx，348882498C2256Txx．故答案为：4x（或1120x，或2256x，写出其中一个即可）练习8．（多选）二项式512xx的展开式中的有理项为（）A．10xB．80xC．280xD．532x【答案】ACD【分析】先得到通项公式，当0r或2或4时为有理项，求出答案.【详解】512xx的通项公式1355522155C2C21rrrrrrrrTxxx，当0r或2或4时，355215C21rrrrrTx为有理项，当0r时，0055515C2132Txx，D正确；当2r时，2232235C2180Txx，C正确；当4r时，4415510C21Txx，A正确.故选：ACD练习9．（多选）6322xx展开式的有理项为（）A．364xB．80C．160xD．4x【答案】AD【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后由x的次数为整数可求出k的值，从而可求出展开式中的有理项.【详解】展开式的通项62247361662C2CkkkkkkkTxxx，由2476kZ，∴0k或6k，当0k时，0044162CTxx，当6k时，66336372C6644Txxx．故选：AD．资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】练习10．在22nxx的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12.(1)求n的值；(2)求展开式中所有的有理项.【答案】(1)7n(2)所有的有理项为14x，984x，4560x，1448x【分析】（1）写出展开式的通项，求出其第4项系数和倒数第4项系数，列出方程即可求出n的值；（2）令x的指数为整数，由此求出展开式的有理项．【详解】（1）由题意知：5221C2nrrrrnTx，则第4项的系数为33C2n，倒数第4项的系数为33C2nnn，则有3333C21C22nnnn，即611,722nn；（2）由（1）可得514217C20,1,,7rrrrTxr，当0,2,4,6r时，所有的有理项为1357,,,TTTT，即00141422991737C2C284TxxTxx，，444466115777C2560C2448TxxTxx，.题型三两个多项式乘积的指定项例5．已知422xayxy的所有项的系数和为3，则23xy的系数为（）A．80B．40C．80D．40【答案】D【分析】由题意令422