专题10.8统计、概率结合其他知识（解析版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】专题10.8统计、概率结合其他知识题型一统计概率与函数题型二统计概率与导数题型三统计概率与不等式题型四统计概率与数列题型一统计概率与函数例1．体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于*()nnN份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验n次.二是混合检验，将n份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这n份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这n份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则n份血液检验的次数共为1n次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为301pp，而且各体检人是否患该疾病相互独立.（1）若89p，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:方案一:采用混合检验;方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.【答案】（1）19；（2）当3306p或3316p时，方案一更“优”；当336p或336p时，方案一、二一样“优”；当333366p时，方案二更“优”.【解析】（1）根据题意，3人混检样本为阴性的概率为338899，故根据对立事件得答案；资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）采取方案一，检验次数记为X，可能取值为1,7，进而列概率分布列，求期望276EXp；采取方案二，记检验次数为Y，可能取值为2,5,8，进而列概率分布列，求期望得86EYp，再作差分情况讨论即可得答案.【详解】解：(1)该混合样本阴性的概率是338899，根据对立事件可得，阳性的概率为81199(2)方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为X，则X的可能取值为1,762231;71PXppPXp，其分布列为:X17P2p21p则276EXp，方案二:由题意分析可知，每组3份样本混合检验时，若阴性则检测次数为1,概率为33pp，若阳性，则检测次数为4，概率为1p，方案二的检验次数记为Y，则Y的可能取值为2,5,8，22122;5121;81PYpPYCppppPYp;其分布列为:Y258P2p222pp21p则22225228186EYppppp，228676661EYEXpppp，当3306p或3316p时，可得EXEY，所以方案一更“优”当336p或336p时，可得EXEY，所以方案一、二一样“优”当333366p时，可得EYEX，所以方案二更“优”.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题考查随机事件的概率分布列与数学期望，考查知识迁移与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意写出方案一与方案二的概率分布列，求解对应事件的概率是难点，理解并应用独立事件的概率求解是解决概率的基本方法，进而根据分布列求期望，并作差分类讨论.例2．从2023年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题（第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为1p（其中01p）.现甲乙两名学生独立解题.(1)假设每道题甲全部选对的概率为12，部分选对的概率为14，有选错的概率为14；乙全部选对的概率为16，部分选对的概率为12，有选错的概率为13，求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率；(2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策（只需选择帮助一人做出决策即可）.【答案】(1)127(2)答案见解析【分析】（1）先分析包含的事件有哪些种，再求概率即可.（2）分别求出选择1,2,3个选项三个情况下的得分的期望，取期望最大的情况即可.【详解】（1）由题意知：甲比乙多得13分的情况包含：A：甲四道全对；乙一道全对，一道部分选对，两道选错，即甲得20分，乙得7分.B：甲三道全对，一道部分选对；乙两道部分选对，两道选错，即甲得17分，乙得4分.C：甲三道全对，一道选错；乙一道部分选对，三道选错，即甲得15分，乙得2分.42114311111CC2623144PA.322324411111CC242348PB.33314411111CC2423108PC.127PPAPBPC.（2）若为甲出方案.则甲可能的选项个数为：1，2，3.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】记1A表示选1个选项的得分，则期望为12EA.记2A表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5，2211011333PAppp22213PAp，2153PAp，此时期望为221140253333ppppEA.记3A表示选3个选项的得分，则得分可能为0，53220133pPApp，3115133pPAp，此时期望为3215505333pppEA.∵423p，5523p.∴甲应选择1个选项才有希望得到更理想的成绩.若为乙出方案.则乙可能的选项个数为：1，2，3.记1B表示选1个选项的得分，类比甲的情况，则112202112333EBpppp记2B表示选2个选项的得分，则得分可能为0，2，5，此时221021152333pEBppp.记3B表示选3个选项的得分，则得分可能为0，5，此时3051155EBppp.∵22233pp.14925533ppp∴当9114p时，乙应选择2个选项才有希望得到更理想的成绩.当9014p时，乙应选择3个选项才有希望得到更理想的成绩，当914p时，乙应选择2或3个选项都有希望得到更理想的成绩.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】练习1．在排查新冠肺炎患者期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)pp且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概率为fp，当0pp时，fp最大，则0p（）A．212B．63C．12D．22【答案】A【分析】根据题意，先求出概率，再利用基本不等式求最大值即可．【详解】设事件A为：检测了3个人确定为感染高危户，设事件B为：检测了4个人确定为感染高危户，事件A为第一个人不是阳性，第二个人不是阳性，第三个人是阳性，所以21PApp，同理31PBpp，即2321121fpppppppp，设011xp，则222111gxfpxxxxx，因为2222211144xxgxxx，当且仅当221xx，即22x时取等号，即0212pp.故选：A练习2．为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】减排器等级及利润率如下表，其中1198a．综合得分k的范围减排器等级减排器利润率85k一级品a7585k二级品25a7075k＜三级品2a（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望E；②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？【答案】（1）3742；（2）①二级品数的分布列见详解，3=4E；②投资乙型号减排器的平均利润率较大.【分析】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.6，根据分层抽样，计算10件减排器中一级品的个数，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少2件一级品的概率；（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为710，二级品的概率14，三级品的概率为120，若从乙型号减排器随机抽取3件，则二级品数所有可能的取值为0,1,2,3，且1(3,)4B，由此能求出的分布列和数学期望.资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②由题意分别求出甲型号减排器的利润的平均值和乙型号减排器的利润的平均值，由此求出投资乙型号减排器的平均利润率较大.【详解】（1）由已知及频率分布直方图中的信息知，甲型号减排器中的一级品的概率为0.085+0.045=0.6，分层抽样的方法抽取10件，则抽取一级品为100.66（件）则至少有2件一级品的概率，2231464646410+3742CCCCCPC；（2）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号减排器中的一级品的概率为710，二级品的概率14，三级品的概率为120，若从乙型号减排器随机抽取3件，则二级品数所有可能的取值为0,1,2,3，且1(3,)4B，所以30033127(0)4464PC，21133127(1)4464PC，1223319(2)4464PC，0333311(3)4464PC，所以的分布列为0123P27642764964164所以数学期望：资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2727913()0123646464644E；②由题意知，甲型号减排器的利润的平均值：221=0.60.4520.6Eaaaa；乙型号减排器的利润的平均值：2222711137=5104201010Eaaaaa；2127171=1010107EEaaaa，又1198a，则12EE，所以投资乙型号减排器的平均利润率较大.【点睛】思路点睛：本题考查了频率分布直方图及分层抽样和互斥事件概率的算法．求解随机变量的分布列及期望和利用函数思想解决实际问题．解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用.练习3．为了解新研制的抗病毒药物的疗效，某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药，然后对每只白鼠的血液进行抽样化验，若检测样本结果呈阳性，则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性，则白鼠未感染病毒.现随机抽取*,2nnnN只白鼠的血液样本进行检验，有如下两种方案:方案一:逐只检验，需要检验n次;方案二:混合检验，将n只白鼠的血液样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则n只白鼠未感染病毒;若检验结果为阳性，则对这n只白鼠的血液样本逐个检验，此时共需要检验1n次.(1)若10n，且只有两只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好检验3次就能确定两只感染病毒白鼠的概率;(2)已知每只白鼠感染病毒的概率为(01