专题10.8统计、概率结合其他知识（原卷版）

专题10.8统计、概率与结合其他知识题型一统计概率与函数题型二统计概率与导数题型三统计概率与不等式题型四统计概率与数列题型一统计概率与函数例1．体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于*()nnN份血液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验n次.二是混合检验，将n份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这n份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检验结果为阳性，为了明确这n份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则n份血液检验的次数共为1n次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为301pp，而且各体检人是否患该疾病相互独立.（1）若89p，求3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;（2）某定点医院现取得6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:方案一:采用混合检验;方案二:平均分成两组，每组3位体检人血液样本采用混合检验.若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.例2．从2023年起，云南省高考数学试卷中增加了多项选择题（第9-12题是四道多选题，每题有四个选项，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.在某次模拟考试中，每道多项选题的正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为1p（其中01p）.现甲乙两名学生独立解题.(1)假设每道题甲全部选对的概率为12，部分选对的概率为14，有选错的概率为14；乙全部选对的概率为16，部分选对的概率为12，有选错的概率为13，求这四道多选题中甲比乙多得13分的概率；(2)对于第12题，甲同学只能正确地判断出其中的一个选项是符合题意的，乙同学只能正确地判断出其中的一个选项是不符合题意的，作答时，应选择几个选项才有希望得到更理想的成绩，请你帮助甲或者乙做出决策（只需选择帮助一人做出决策即可）.练习1．在排查新冠肺炎患者期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)pp且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概率为fp，当0pp时，fp最大，则0p（）A．212B．63C．12D．22练习2．为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：减排器等级及利润率如下表，其中1198a．综合得分k的范围减排器等级减排器利润率85k一级品a7585k二级品25a7075k＜三级品2a（1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率；（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望E；②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？练习3．为了解新研制的抗病毒药物的疗效，某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药，然后对每只白鼠的血液进行抽样化验，若检测样本结果呈阳性，则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性，则白鼠未感染病毒.现随机抽取*,2nnnN只白鼠的血液样本进行检验，有如下两种方案:方案一:逐只检验，需要检验n次;方案二:混合检验，将n只白鼠的血液样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则n只白鼠未感染病毒;若检验结果为阳性，则对这n只白鼠的血液样本逐个检验，此时共需要检验1n次.(1)若10n，且只有两只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好检验3次就能确定两只感染病毒白鼠的概率;(2)已知每只白鼠感染病毒的概率为(01)pp.①采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的数学期望;②若20n，每次检验的费用相同，判断哪种方案检验的费用更少?并说明理由.练习4．2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“定点投篮”活动，方案如下：方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得0分，累计所得分数记为Y；方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得0分，三轮累计所得分数记为X．累计所得分数越多，所获得奖品越多．现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为(01)pp，每次投篮互不影响．(1)若12p，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率；(2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个方案？练习5．从2021年起，全国高考数学加入了新题型多选题，每个小题给出的四个选择中有多项是正确的，其中回答错误得0分，部分正确得2分，完全正确得5分，小明根据以前做过的多项选择题统计得到，多选题有两个选项的概率为p，有三个选项的概率为1p（其中01p）.(1)若12p，小明对某个多项选择题完全不会，决定随机选择一个选项，求小明得2分的概率；(2)在某个多项选择题中，小明发现选项A正确，选项B错误，下面小明有三种不同策略：Ⅰ：选择A，再从剩下的C，D选项中随机选择一个，小明该题的得分为X；Ⅱ：选择ACD，小明该题的得分为Y；Ⅲ：只选择A、小明该题的得分为Z；在p变化时、根据该题得分的期望来帮助小明分析该选择哪个策略.题型二统计概率与导数例3．今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多．9月19日，中国疾控中心发布了我国首例“输入性猴痘病例”的溯源公告．我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控已提前做出部署，同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力．据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天．在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大．对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接种天花疫苗3060接种天花疫苗2090(1)是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；(2)以样本中结束医学现察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率．现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测．每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)pp且相互独立．记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为fp．求当p为何值时，fp最大？附：22()nadbcabcdacbd20Pk0.10.050.0100k2.7063.8416.635例4．汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t20172018201920202021年份代码2016xxt12345销量/y万辆1012172026(1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；(2)为了解当地的购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车），该企业随机调查了该地区的购车情况.设购置新能源汽车的概率为p，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为fp，求当p为何值时，fp最大．附：ˆˆybxa为回归方程，1221ˆˆˆ,niiiniixynxybaybxxnx．练习6．某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量1,2,,5iXi表示第i组被感染的白鼠数，并将随机变量iX的观测值1,2,,5ixi绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为0,1pp，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记iA为事件“1,2,,5iiXxi”.(1)写出1PA（用p表示，组合数不必计算）；(2)研究团队发现概率p与参数(01)之间的关系为215192645p.在统计学中，若参数0时的p值使得概率12345PAAAAA最大，称0是的最大似然估计，求0.练习7．生产某种特殊零件的废品率为p（01p），优等品的概率为0.4，若20个此特殊零件中恰有4件废品的概率为fp，设fp的最大值点为0p．(1)求0p；(2)若工厂生产该零件的废品率为0p．（ⅰ）从生产的产品中随机抽取n个零件，设其中优等品的个数为X，记kPPXk，0,1,,kn，已知5X时优等品概率kP最大，求n的最小值；（ⅱ）已知合格率为80%，每个零件的生产成本为80元，合格品每件售价150元，同时对不合格零件进行修复，修复为合格品后正常售卖，若仍不合格则以每件10元的价格出售，若每个不合格零件修复为合格零件的概率为0.5，工厂希望一个零件至少获利50元，试求一个零件的修复费用最高为多少元．练习8．今年5月以来，世界多个国家报告了猴痘病练习，非洲地区猴痘地方性流行国家较多.我国目前为止尚无猴痘病练习报告.我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控提前做出部署.同时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》.此《指南》中指出：①猴痘病人潜伏期521天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程度的交叉保护力.据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天.在医学观察期结束后发现密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比练习较大.对该国家200个接种与未接种天花疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接种天花疫苗3060接种天花疫苗2090(1)是否有99％的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关；(2)以样本中结束医学观察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率.现从该国所有结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率；(3)该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查.在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行猴痘病毒检测.每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”.假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为01pp且相互独立.记：该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染高危家庭”的概率为()fp.求当p为何值时，()fp最大？附：22nadbcabcdacbd20Pk0.10.050.0100k2.706