专题2.1 不等式的性质（解析版）

专题2.1不等式的性质题型一不等式性质的应用题型二比较两个数（式）的大小题型三比较法证明不等式题型四求目标式的取值范围题型五不等式的综合应用题型一不等式性质的应用例1．（海南省2022届高三高考全真模拟卷（三）数学试题）（多选）如果abc，那么下列不等式错误的是（）A．acbcB．22ababC．22abD．abbc【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用特殊值法可判断BCD选项.【详解】因为abc，所以0acbc，所以acbc，故A项正确；取1a，1b=-，则abba，则22abab，故B项错误；取1a，2b，则2214ab，故C项错误；取1a，2b，4c，则28abbc，故D项错误．故选：BCD．例2．（2023秋·广东湛江·高三雷州市第一中学校考期末）（多选）已知实数a，b，c满足cba，0ac，那么下列选项中错误的是（）A．0acacB．22cbcaC．abacD．0cba【答案】ABD【分析】由已知可得0,0ac，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可.【详解】因为实数a，b，c满足cba，0ac，所以0a，0c.对于A：因为ac，所以0ac，因为0ac，所以0acac，所以A错误；对于B，若0ab，则22ab，因为0c，所以22cacb，所以B错误；对于C，因为bc，0a，所以abac，所以C正确；对于D，因为ba，所以0ba，因为0c，所以0cba，所以D错误.故选：ABD练习1．（2021秋·福建泉州·高三校考期中）若ab，一定成立的是（）A．acbcB．22abC．22acbcD．11ab【答案】A【分析】根据不等式的性质逐一分析即可.【详解】若ab，则acbc，故A正确；当1,2ab时，2211114,12abab，故BC错误；当0c=时，220acbc，故C错误.故选：A.练习2．（2022秋·安徽合肥·高三校考期末）下列命题为真命题的是（）A．若0ab，则22acbcB．若0ab，则22abC．若0ab，则22abD．若0ab，则11ab【答案】B【分析】根据0c=排除选项A；取2,1ab计算验证，排除选项C，D得到答案.【详解】对于A，若0ab，则22acbc，当0c=时不成立，故A错误；对于B，若0ab，所以220ababab，则22ab，故B正确；对于C，若0ab，则22ab，取2,1ab，计算知不成立，故C错误；对于D，若0ab，则11ab，取2,1ab，计算知不成立，故D错误.故选：B.练习3．（2023秋·广东梅州·高三统考期末）（多选）下列结论正确的是（）A．若ab，则22abB．若22acbc，则abC．若ab，cd，则acbdD．若ab，cd，则acbd【答案】BC【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.【详解】A.取特殊值，1a，2b，显然不满足结论；B.由22acbc可知，20c，由不等式性质可得ab，结论正确；C.由同向不等式的性质知，ab，cd可推出acbd，结论正确；D.取3,0,1,2abcd，满足条件，显然acbd不成立，结论错误.故选：BC.练习4．（2022·海南·校联考模拟预测）（多选）已知,Rabc，则下列不等式不一定成立的是（）A．22(1)(1)acbcB．2211abccccC．2221acbcD．22abab【答案】ACD【分析】根据不等式的基本性质，以及特练习，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当1c时，可得2(1)0c，此时22(1)(1)acbc，所以不等式22(1)(1)acbc不一定成立，符合题意；对于B中，因为22131()024ccc，可得2101cc，又由ab，所以2211abcccc一定成立，不符合题意；对于C中，当1,2,0abc时，可得2222,12acbc，此时2221acbc，所以2221acbc不一定成立，符合题意；对于D中，由22()abababba，因为ab，可得0ba，当ab的符号不确定，所以22abab不一定成立，符合题意.故选：ACD.练习5．（2023·北京房山·统考一模）能够说明“设,,abc是任意实数，若abc，则acbc”是假命题的一组整数,,abc的值依次为__________.【答案】2,1,0（答案不唯一）【分析】根据不等式的性质，讨论c的正负和0c=三种情况，得出结论．【详解】若ab，当0c时，acbc；当0c=时，acbc；当0c时，acbc；“设,,abc是任意实数，若abc，则acbc”是假命题的一组整数,,abc的值依次为2,1,0，故答案为：2,1,0（答案不唯一）题型二比较两个数（式）的大小例3．（2022秋·河北石家庄·高一校考期中）（1）设0ab，比较2222abab与abab的大小；（2）已知0ab，0cd，0e，求证：eeacbd．【答案】（1）2222abababab；（2）证明见解析【分析】（1）由题意得22220,0abababab，利用作商法即可得出答案；（2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论.【详解】（1）0ab，22220,0abababab，222222222()211abababababababab，2222abababab.（2）0cdQ，0cd，又0ab，0,0,0,acbdbacd又0e，()()()()0()()()()()()eeebdeacebdacebacdacbdacbdacbdacbd，eeacbd.例4．（2021春·陕西西安·高二西安中学校考期中）设1,75,622abc，则,,abc的大小顺序是（）A．abcB．cabC．acbD．bca【答案】C【分析】将,bc化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较,ac大小关系即可.【详解】57725b，66222c，7625，227562，bc.又52566024ac，故ac.则acb.故选：C.练习6．（2023秋·广东清远·高三统考期末）“0acb”是“abacbc”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】做差可判断充分性，取0acb可判断必要性可得答案.【详解】cabacbbacabacbcccbccb，当0acb时，0,0accb，所以0bacabacbcccb，可得abacbc，所以充分性成立；但当0acb时，0bacabacbcccb即abacbc也成立，所以必要性不成立．因此“0acb”是“abacbc”的充分不必要条件．故选：B.练习7．（2022秋·广东江门·高三校考阶段练习）（多选）若正实数x，y满足xy，则有下列结论：①2xyy；②22xy；③1xy；④11xxy．其中正确的结论为（）A．①B．②C．③D．④【答案】BCD【分析】利用特殊值排除错误结论，利用差比较法、商比较法证明正确结论.【详解】依题意，正实数x，y满足xy，0xy，若2,1xy，则222,1,xyyxyy，所以①错误.22220,xyxyxyxy，所以②正确.由于0xy，所以1xy，所以③正确.11110,xyxyxxyxxyxxyxxy，所以④正确.故选：BCD练习8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）（多选）已知a，b，0,c，则下列说法正确的是（）A．若ac，bc，则abB．若ab，则ccabC．122ababD．22baabab【答案】BC【分析】通过举反练习可判断A项，通过构造函数研究其单调性可判断B项，运用基本不等式可判断C项，方法1：通过举反练习，方法2：作差法可判断D项.【详解】对于A项，练习如3a，2b，5c，满足ac，bc，但不满足ab，故A项不成立；对于B项，因为a,0b，0c，所以幂函数cyx在0,上为增函数，所以ccab，故B项正确；对于C项，因为a，b，0c，所以11122222abababababab，当且仅当22ab时等号成立，故C项正确；对于D项，方法1：当1a，2b时，2219422baab，3ab，则22baabab，故D项错误．方法2：作差法，223322()()()()()baababababaabbabababababab222()(2)()()abaabbabababab，因为0a，0b，所以2()()0ababab，所以22baabab，故D项错误．故选：BC.练习9．若0ab，求证：2()abababab．【答案】证明见解析【分析】作商法证明不等式.【详解】证明：∵ab0，∴1ab，且0ab．∴作商得：221()abababababab．∴2()abababab．练习10．（2022·高一课时练习）试比较下列组式子的大小：(1)1xx与1xx，其中1x；(2)11abMab与11baNab，其中0a，0b；(3)2222abab与abab，0ab．【答案】(1)11xxxx;(2)MN;(3)2222abababab.【分析】(1)通过比较11xx与11xx的大小来确定1xx与1xx的大小；(2)通过作差法来比较,MN的大小；(3)通过作差法或作商法比较2222abab与abab的大小.（1）解：111xxxx，111xxxx，因为110xxxx，所以1111xxxx，即11xxxx；（2）解：11111111abbaababMNababaabb211111111ababababababab．因为0a，0b，所以110ab，20ab，所以0MN，即MN；（3）方法一（作差法）2222222222abababababababababab22222222ababababababababab．因为0ab，所以0ab，0ab，20ab，220ab．所以2220abababab，所以2222abababab．方法二（作商法）因为0ab，所以22220abab，0abab，20ab，所以22222222222222211ababababababababababab，所以2222abababab