专题2.2 基本不等式（解析版）

专题2.2基本不等式题型一直接法求最值题型二配凑法求最值题型三“1”的代换求最值题型四消参法求最值题型五商式求最值题型六对勾函数求最值题型七利用基本不等式证明不等式题型八利用基本不等式解决实际问题题型九基本不等式与其余知识的综合应用题型一直接法求最值例1．（2022秋·海南海口·高三校考阶段练习）已知实数x，y满足222xy，那么xy的最大值为（）A．14B．12C．1D．2【答案】C【分析】根据重要不等式222xyxy即可求最值，注意等号成立条件.【详解】由2222xyxy，可得1xy，当且仅当1xy或1xy时等号成立.故选：C.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知3918xy，当2xy取最大值时，则xy的值为（）A．2B．2C．3D．4【答案】B【分析】先根据已知3918xy使用基本不等式，整理求出2xy取最大值时的x和y值，再得出结果.【详解】由已知3918xy可得23318xy，则222183333223xyxyxy，即+2381xy，所以+24xy，当且仅当=22xy时取等号，即=2x，=1y，此时2xy.故选：B．练习1．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）若正实数a、b满足21ab，则当ab取最大值时，a的值是（）A．12B．14C．16D．18【答案】A【分析】利用基本不等式等号成立的条件可求得ab取最大值时a的值.【详解】因为正实数a、b满足21ab，则222abab，可得18ab，当且仅当221abab时，即当122ab时，等号成立.故选：A.练习2．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数,ab，则“24ab”是“2ab”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用基本不等式由24ab可得2ab，可得充分性不成立；当2,2ab时可得必要性不成立，即可得出结果.【详解】根据基本不等式可得2422abab，即22ab，可得2ab，所以充分性不成立；若2ab，可令2,2ab满足2ab，此时264ab；即必要性不成立；所以“24ab”是“2ab”的既不充分也不必要条件.故选：D练习3．（2021春·广西南宁·高二校考阶段练习）函数220yxxx的最小值为（）A．12B．2C．22D．4【答案】D【分析】利用基本不等式运算求解.【详解】∵0x，则220,0xx，∴222242yxxxx，当且仅当22xx，即1x时，等号成立，故函数220yxxx的最小值为4.故选：D.练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数22fxaxxc（xR）的值域为0,，则14ca的最小值为（）A．4B．4C．8D．8【答案】B【分析】根据fx的值域求得1ac，结合基本不等式求得14ca的最小值.【详解】由于二次函数22fxaxxc（xR）的值域为0,，所以0Δ440aac，所以1,0acc，所以141424caca，当且仅当14ca即12,2ac时等号成立.故选：B练习5．（2022秋·高三课时练习）已知正数x，y满足439xy，则8xy的最小值为（）A．8B．12C．22D．422【答案】B【分析】可通过已知条件，先找到x与y的等量关系，然后把等量关系带入要求的式子，消掉x，从而得到关于y的两项乘积为定值的和的关系，然后再使用基本不等式完成求解.【详解】由已知，x，y均为正数，42393xyy，故42xy，即24xy，所以888424224812xyyyyy，当且仅当82,2yyy时等号成立.故选：B.题型二配凑法求最值例3．（2023·上海·高三专题练习）函数241loglog(2)yxx在区间1(,)2上的最小值为_____________．【答案】221．【分析】对函数变形后，利用基本不等式求出最小值.【详解】224212logloglog(2)1logyxxxx，因为1,2x，所以2log1,x，故21log0,x，故2222221log121log12211log1logyxxxx，当且仅当2221log1logxx，即212x时，等号成立.故答案为：221例4．（2022秋·新疆克拉玛依·高三克拉玛依市高级中学校考期中）（1）已知2x，求函数12yxx的最小值；（2）已知302x，求函数321yxx的最大值.【答案】（1）4；（2）178.【分析】（1）先构造出乘积的定值，再用基本不等式求和的最小值；（2）先构造出和的定值，再用基本不等式求积的最大值.【详解】（1）2x时，20x，根据基本不等式，可得：111222224222yxxxxxx当122xx，即3x时取得等号，故3x时，y取得最小值是4；（2）302x，故320x，根据基本不等式可得：21123292322228xxyxx，当232xx，即34x时取得等号，故34x时，321yxx的最大值是917188.练习6．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）设实数x满足0x，则函数4231yxx的最小值为（）A．431B．432C．431D．6【答案】A【分析】将函数变形为43111yxx，再根据基本不等式求解即可得答案.【详解】由题意0x，所以10x，所以4423231311yxxxx44311231143111xxxx，当且仅当4311xx，即23103x时等号成立，所以函数4231yxx的最小值为431.故选：A练习7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在下列函数中，最小值是2的函数有（）A．1fxxxB．22fxxxC．1fxxxD．422fxxxx【答案】CD【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，1fxxx，122f，所以A选项不符合.B选项，2222222xxfxxx，当且仅当22,2xxx时等号成立，所以B选项不符合.C选项，对于函数1fxxx，当0x时，1122fxxxxx，当且仅当1,1xxx时等号成立.当0x时，1122fxxxxx，当且仅当1,1xxx时等号成立，综上所述，1fxxx的最小值是2，符合题意.D选项，2,20xx，444222222222fxxxxxxx，当且仅当42,02xxx时等号成立，所以D选项符合.故选：CD练习8．（2022秋·吉林·高三吉林毓文中学校考阶段练习）已知102x，函数(12)yxx的最大值是__．【答案】18/0.125【分析】由基本不等式22abab，得221212(12)24xxxx，由此即可求出函数(12)yxx的最大值．【详解】102x，∴2212111122122228xxxxxx,当且仅当212xx时，即14x时等号成立，因此，函数(12)yxx的最大值为18.故答案为:18.练习9．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知(0,π)，则221cos2sin的最小值为______．【答案】21【分析】根据给定条件，利用同角公式，结合均值不等式求解作答.【详解】(0,π)，0sin1，222222111cossin12sin1212sin2sin2sin，当且仅当221sin2sin，即14sin2时取等号，所以221cos2sin的最小值为21．故答案为：21练习10．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式2630axx对xR恒成立，则a的取值范围是__________，91aa的最小值为__________．【答案】(3,)7【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得3a，再利用基本不等式，即可求解.【详解】当0a时，不等式630x对xR不恒成立，不符合题意（舍去）；当0a时，要使得2630axx对xR恒成立，则满足0Δ36120aa，解得3a，所以实数a的取值范围为(3,).因为3a，可得30a，所以9911291711aaaa，当且仅当4a时，等号成立，所以91aa的最小值为7．故答案为：(3,)；7.题型三“1”的代换求最值例5．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数x，y满足31xy．则121xy的最小值为（）A．12B．25C．27D．36【答案】C【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可；【详解】解：因为31xy，所以12112136315yxxyxyxyxy．因为,0xy，所以3636212yxyxxyxy，当且仅当36yxxy，即23x，19y时，等号成立，所以，121xy的最小值为27．故选：C例6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线1(0,0)xyabab过点23，，则2ab的最小值为______．【答案】743/437【分析】由直线1(00)xyabab，过点23，，可得231ab，利用基本不等式“1”的代换，求出最小值．【详解】∵直线1(0,0)xyabab过点23，，231ab．2326322774743babaababababab，当且仅当3ba，即23a，233b时取等号．2ab的最小值为743．故答案为：743．练习11．（2023·北京·高三专题练习）已知1a，1b，3100ab，则log103log10ab的最小值为（）A．4B．6C．8D．12【答案】B【分析】条件等式两边取对数后，得3lglg2ab，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解.【详解】因为3100ab，所以3lg2ab，即3lglg2ab，所以131131lg9lglog103log103lglg6lglg2lglg2lglgabbaabababab1lg9lg6262lglgbaab≥，当且仅当lg3lgba，即1310a，10b时等号成立，所以log103log10ab的最小值为6.故选：B.练习12．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数,ab满足lglglg2abab，则2ab的最小值是（）A．5B．9C．13D．18【答案】B【分析】根据对数的运算法则，求得211ab，且0,0ab，利用2(221())ababab，结合基本不等式，即可求解.【详解】由lglglg2abab，可得lglg2abab，所以2abab，即211ab，且0,0ab，则2122222(2)()5529babaababababab，当且仅当22baab，即3ab时，等号成立，所