专题2.2 基本不等式（原卷版）

专题2.2基本不等式题型一直接法求最值题型二配凑法求最值题型三“1”的代换求最值题型四消参法求最值题型五商式求最值题型六对勾函数求最值题型七利用基本不等式证明不等式题型八利用基本不等式解决实际问题题型九基本不等式与其余知识的综合应用题型一直接法求最值例1．（2022秋·海南海口·高三校考阶段练习）已知实数x，y满足222xy，那么xy的最大值为（）A．14B．12C．1D．2例2．（2023·全国·高三专题练习）已知3918xy，当2xy取最大值时，则xy的值为（）A．2B．2C．3D．4练习1．（2023春·湖南·高三桃江县第一中学校联考期中）若正实数a、b满足21ab，则当ab取最大值时，a的值是（）A．12B．14C．16D．18练习2．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数,ab，则“24ab”是“2ab”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习3．（2021春·广西南宁·高二校考阶段练习）函数220yxxx的最小值为（）A．12B．2C．22D．4练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数22fxaxxc（xR）的值域为0,，则14ca的最小值为（）A．4B．4C．8D．8练习5．（2022秋·高三课时练习）已知正数x，y满足439xy，则8xy的最小值为（）A．8B．12C．22D．422题型二配凑法求最值例3．（2023·上海·高三专题练习）函数241loglog(2)yxx在区间1(,)2上的最小值为_____________．例4．（2022秋·新疆克拉玛依·高三克拉玛依市高级中学校考期中）（1）已知2x，求函数12yxx的最小值；（2）已知302x，求函数321yxx的最大值.练习6．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）设实数x满足0x，则函数4231yxx的最小值为（）A．431B．432C．431D．6练习7．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在下列函数中，最小值是2的函数有（）A．1fxxxB．22fxxxC．1fxxxD．422fxxxx练习8．（2022秋·吉林·高三吉林毓文中学校考阶段练习）已知102x，函数(12)yxx的最大值是__．练习9．（2023·山东菏泽·山东省东明县第一中学校联考模拟预测）已知(0,π)，则221cos2sin的最小值为______．练习10．（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式2630axx对xR恒成立，则a的取值范围是__________，91aa的最小值为__________．题型三“1”的代换求最值例5．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数x，y满足31xy．则121xy的最小值为（）A．12B．25C．27D．36例6．（2023·安徽蚌埠·统考二模）若直线1(0,0)xyabab过点23，，则2ab的最小值为______．练习11．（2023·北京·高三专题练习）已知1a，1b，3100ab，则log103log10ab的最小值为（）A．4B．6C．8D．12练习12．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数,ab满足lglglg2abab，则2ab的最小值是（）A．5B．9C．13D．18练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知01x，则2631xx的最小值为（）A．20B．32C．203D．323练习14．（2023·辽宁沈阳·高三校联考学业考试）已知14a，则141aaa的最小值是______．练习15．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知实数0ab，且5ab，则1112ab的最小值为___________.题型四消参法求最值例7．（2023·辽宁大连·统考三模）已知0xy，且221xxy，则22xy的最小值为__________.例8．（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若,abR，且221ba，则22abab的最大值为___________.练习16．（2023·全国·高三专题练习）设0,0ab，且21ab，则123aaab（）A．有最小值为5263B．有最小值为5263C．有最大值为5263D．有最大值为5263练习17．（2022秋·江苏常州·高三江苏省奔牛高级中学校考阶段练习）实数a，b，c满足0ab，0b，2220aabbc，则2cabb的最小值为（）A．2B．1C．34D．38练习18．（2022秋·陕西西安·高三西安市第三中学校考阶段练习）已知正数,ab满足2240aab，则4ab的最小值为（）A．1B．2C．2D．22练习19．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考期中）正数a，b满足21ab，则224ab的最小值为______；aab的最大值为______．练习20．（2023·浙江·二模）若22abab，则3322abab的取值范围是______.题型五商式求最值例9．（2023·全国·高三专题练习）设0,1babb,则2ab的最小值为（）A．0B．1C．2D．4例10．（2022·江苏·高一专题练习）求下列函数的最小值（1）21(0)xxyxx；（2）225()4xyxRx；（3）226(1)1xxyxx.练习21．（2022·全国·高三专题练习）已知ab，且8ab，则222abab的最小值是（）A．6B．8C．14D．16练习22．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第五中学校考阶段练习）已知正实数x，则224xxyx的最大值是（）A．1B．42C．42D．142练习23．（2023·全国·高三专题练习）已知1x，则函数241xxyx的最小值是______．练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知1xy，且102y，则22416xyxy最大值为______．练习25．（2021秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）若存在0,x，使231xaxx成立，则a的取值范围是___________.题型六对勾函数求最值例11．（2023·高三课时练习）设2,0x，则1xx的取值范围是______．例12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知关于x的20axbxc的解集是2,3，则（）A．0aB．9640abcC．关于x的不等式20cxbxa的解集是11,32D．234cb的最小值是4练习26．（2022秋·高三课时练习）若函数()yfx的值域是1,43，则函数1()()()Fxfxfx的值域是（）A．1[,4]3B．17[2,]4C．1017[,]34D．17[4,]4练习27．（2022秋·吉林长春·高三东北师大附中校考期中）已知函数2()1xfxx的定义域为[0,)，则函数()fx的值域为（）A．[0,)B．[2,)C．10,2D．1,2练习28．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知关于x的不等式240axbx的解集为4,,mm，其中0m，则4bab的最小值为（）A．－4B．4C．5D．8练习29．（2023秋·江苏常州·高三统考期末）（多选）下列函数中，以3为最小值的函数有（）．A．63cosyxB．2427xxyC．229sin4sinyxxD．e94exxy练习30．（2022秋·高三校考期中）（多选）已知函数41fxxx，则下列结论正确的是（）A．若1x，则fx有最小值5B．若1x，则fx有最小值3C．若1x，则fx有最大值3D．若1x，则fx有最大值5题型七利用基本不等式证明不等式例13．（2023·贵州黔西·校考一模）设a，b，c均为正数，且1abc，证明：(1)22213abc；(2)333acbacbabc．例14．（2021秋·广西钦州·高二校考期中）证明：(1)1422aaa；(2)22222()abab．练习31．已知0a，0b，33222ab，证明：(1)115522224abab；(2)11222ab．练习32．已知0a，0b，且2ab．(1)求22ab的最小值；(2)证明：1122ab．练习33．（2022秋·云南昆明·高一云南民族大学附属中学校考阶段练习）（1）求函数21(1)710xfxxxx的最大值；（2）已知0,0,1abab，求证：11222ab．练习34．已知xyR、，且1xy，求证：(1)14xy；(2)11119xy.练习35．（2021·全国·高一专题练习）证明：2112aa.题型八利用基本不等式解决实际问题例15．目前，我国汽车工业迎来了巨大的革命时代，确保汽车产业可持续发展，国内汽车市场正由传统燃油车向新能源、智能网联汽车升级转型.某汽车企业决定生产一种智能网联新型汽车，生产这种新型汽车的月成本为400（万元），每生产x台这种汽车，另需投入成本px（万元），当月产量不足40台时，4pxx（万元）；当月产量不小于40台时，1000021900pxxx（万元）．若每台汽车售价为20（万元），且该车型供不应求．(1)求月利润y（万元）关于月产量x（台）的函数关系式；(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润?并求出最大月利润．例16．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为2200m的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元2/m；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元2/m；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元2/m．受地域影响，AD的长度最多能达到4m，其余边长没有限制．(1)设总价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），试建立S关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，S最小？并求出这个最小值．练习36．（2023·全国·高一专题练习）如图所示，有一批材料长为24m，如果用材料在一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？练习37．（2023春·内蒙古呼和浩特·高二统考阶段练习）已知某公司计划生产一批产品总共t万件（0.51.5t），其成本为2161t（万元/万件），其广告宣传总费用为4t万元，若将其销售价格定为804t万元/万件．(1)将该批产品的利润y（万元）表示为t的函数；(2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元?练习38.为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产x台xN需要另投入成本ax（万元），当年产量x不足45台时，21303002axxx万元，当年产量x不少于45台时，2500619001axxx万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为10060x万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.(1)求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；(2)