专题3.3 函数的奇偶性、周期性与对称性（解析版）

专题3.3函数的奇偶性、周期性与对称性题型一判断函数的奇偶性题型二利用奇偶性求函数值或参数值题型三利用奇偶性求解析式题型四函数周期性的应用题型五函数对称性的应用题型六单调性与奇偶性的综合问题题型七对称性、周期性与奇偶性的综合问题题型一判断函数的奇偶性例1．（2023·北京房山·统考二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（）A．2()2fxxxB．()|ln|fxxC．()sinfxxxD．()22xxfx【答案】D【分析】判断二次函数的对称轴，可得函数2()2fxxx不是偶函数，判断选项A，根据函数()|ln|fxx的定义域判断选项B，判断得()fxfx，从而得函数()sinfxxx为偶函数，结合三角函数的性质可判断得该函数不具有最小值，从而判断选项C，根据()fxfx，得函数()22xxfx为偶函数，再利用基本不等式求解出最小值，即可判断选项D.【详解】对A，二次函数2()2fxxx的对称轴为1x，不是偶函数，故A错误；对B，函数()|ln|fxx的定义域为0,，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；对C，()sinsinfxxxxxfx，定义域为R，所以函数()sinfxxx是偶函数，结合三角函数的性质易判断函数()sinfxxx无最小值，故C错误；对D，()22xxfxfx，定义域为R，所以函数()22xxfx是偶函数，因为20x，20x，所以222222xxxx，当且仅当22xx，即0x时取等号，所以函数()22xxfx有最小值2，故D正确.故选：D例2．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数fxx，22xxgx，则大致图象如图的函数可能是（）A．fxgxB．fxgxC．fxgxD．fxgx【答案】D【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案．【详解】fx，gx的定义域均为R，且fxxfx,22xxgxgx，所以fx为奇函数，gx为偶函数.由图易知其为奇函数，而fxgx与fxgx为非奇非偶函数，故排除AB.当x时，fxgx，排除C.故选:D．练习1．（2023春·北京·高三北京师大附中校考期中）下列函数是奇函数的是（）A．1cosfxxB．sinfxxxC．cosfxxxD．1sinfxx【答案】B【分析】利用奇偶性定义判断各项函数的奇偶性.【详解】显然各项函数的定义域均为R，1cos()1cos()fxxxfx，偶函数，A不符合；sin()sin(sin)()fxxxxxxxfx，奇函数，B符合；cos()cos()fxxxxxfx，非奇非偶函数，C不符合；1sin()1sin()fxxxfx，非奇非偶函数，D不符合.故选：B练习2．（2023·上海·高三专题练习）函数lg1lg1yxx是（）A．奇函数B．偶函数C．奇函数也是偶函数D．非奇非偶函数【答案】B【分析】求出定义域，根据函数奇偶性的定义判断即可.【详解】由函数lg1lg1yxx可知，定义域为(1,1)关于原点对称，又lg1lg1fxxxfx，故函数为(1,1)内的偶函数.故选：B练习3．（2023·北京海淀·统考二模）下列函数中，既是奇函数又在区间0,1上单调递增的是（）A．lgyxB．2yxC．||2xyD．tanyx【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及单调性，结合基本初等函数的性质，即可由选项逐一判断.【详解】对于A,lgyx的定义域为0,，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误，对于B，2fxx的定义域为,00,U，定义域关于原点对称，又1fxxfxx-=-=-，所以fx为奇函数，但在0,1单调递减，故B错误，对于C，||2xfx的定义域为R,关于原点对称，又||22xxfxfx--==，故fx为偶函数，故C错误，对于D，tan,fxx=由正切函数的性质可知tanfxx为奇函数，且在0,1单调递增，故D正确，故选：D练习4．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）下列函数在其定义域内既是严格增函数，又是奇函数的是（）A．sinyxB．2logyxC．cosyxxD．eexxy【答案】D【分析】根据初等函数的单调性和奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数sinyx在定义域R上不是严格的单调函数，不符合题意；对于B中，函数2logyx的定义域为(0,)，所以为非奇非偶函数，不符合题意；对于C中，函数cosfxxx，可得cos()cosfxxxxxfx，所以函数fx不是奇函数，不符合题意；对于D中，函数1eeeexxxxfx，在定义域R上严格的单调递增函数，且eeeexxxxfxfx，所以函数fx为奇函数，符合题意.故选：D.练习5．（2023·海南·校联考模拟预测）函数ee101xxfxx的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性证明函数()fx为偶函数；分别求出1()0,(2)02ff，利用排除法，结合选项即可求解.【详解】函数()fx的定义域为1xx，关于原点对称，ee()()10(1)xxfxfxx，则函数()fx为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C；又1122221eeee()0,(2)0121010(1)2ff，故排除AB，D符合题意.故选：D.题型二利用奇偶性求函数值或参数值例3．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）若1ln121fxmnx为奇函数，则n（）A．ln2B．2C．11ln2D．11ln2【答案】C【分析】利用奇函数的定义，对m分类讨论即可得解.【详解】因为函数fx为奇函数，所以fx的定义域关于原点对称.若0m，则fx的定义域12xx不关于原点对称，所以0,mfx的定义域为12xx且1122xm，所以111222m，解得12m.所以11ln1221fxnx，定义域为12xx.令00f，得1ln102n，故11ln2n，此时经检验，fx为奇函数.故选：C.例4．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）已知函数533fxaxbx且202316f，则2023f的值为__________【答案】10【分析】由函数fx的解析式发现，它是由一个奇函数加一个常数的形式，再注意到已知的函数值和要求的函数值，它们的自变量互为相反数，所以可以直接代入利用奇函数的性质求解.【详解】因为533fxaxbx，所以53202320232023316fab，所以532023202313ab，所以532023(2023)(2023)3fab53(20232023)313310ab，故答案为：10.练习6．（2022秋·高三课时练习）fx为奇函数，gx为偶函数，且(1)(1)4(1)(1)2fgfg，则1g（）A．3B．-1C．1D．-3【答案】A【分析】根据函数奇偶性可知(1)(1),(1)(1)ffgg，解方程组即可求得13g.【详解】因为fx为奇函数，gx为偶函数，则(1)(1),(1)(1)ffgg所以(1)(1)4(1)(1)2fgfg，两式相加可得216g，即13g故选：A.练习7．（2023·辽宁·校联考二模）“1a”是“函数22lgfxxax是奇函数”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】函数22lgfxxax为奇函数，解得1a，判断1a与1a的互推关系，即可得到答案.【详解】当函数22lgfxxax为奇函数，则22222lglglg0fxfxxaxxaxa，解得1a.所以“1a”是“函数22lgfxxax为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.练习8．（2022秋·江苏南通·高一江苏省通州高级中学校考阶段练习）若函数(0011)xxfxababab，，，是偶函数，则14ab的最小值为（）A．4B．2C．22D．23【答案】A【分析】根据fx为偶函数求出1ab，再利用基本不等式求解.【详解】由fx为偶函数可得fxfx，即11xxxxabab，所以()10xxxabab．因为xR，且0a，0,1,1bab，所以0xxab，所以1ab，则141424abab，当且仅当14ab，即1,22ab时，14ab取最小值4．故选：A练习9．（2023·广西玉林·统考三模）函数3tan2fxaxbxx，若1fm，则fm________．【答案】3【分析】根据题意可得3tan1ambmm，结合3tan2fmambmm计算即可求解.【详解】由题得3tan21fmambmm，∴3tan1ambmm，所以33tan2tan2123fmambmmambmm．故答案为：3.练习10．（2023·上海金山·统考二模）已知yfx是定义域为R的奇函数，当0x时，3221xfxx，则2f__________.【答案】19【分析】根据奇函数性质求解即可.【详解】因为函数fx是定义域为R的奇函数，所以3222222119ff，故答案为：19.题型三利用奇偶性求解析式例5．（2023·全国·高一专题练习）已知奇函数23,0,1,0,xxxfxgxx则gx__________．【答案】231xx【分析】根据奇函数的定义，先求当0x时，0x，fxfx，再进一步求解gx.【详解】当0x时，0x，22133xxfxgxfxxx，则231xgxx．故答案为：231xx.例6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知()yfx是定义域为R的奇函数，当0x时，()12fxx，则当0x时，()yfx的表达式为_________．【答案】12x/21x【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出0x时的解析式作答.【详解】()yfx是定义域为R的奇函数，当0x时，()12fxx，则当0x时，0x，()()[12()]12fxfxxx，所以当0x时，()yfx的表达式为()12fxx.故答案为：12x练习11．（2023·安徽马鞍山·统考三模）函数()fx的定义域为R，()2exyfx是偶函数，()3exyfx是奇函数，则()fx的最小值为（）A．eB．5C．22D．25【答案】B【分析】根据奇偶函数的定义可得e5e()2xxfx，再利用基本不等式求最小值.【详解】由题意可得()2e