专题3.6 对数与对数函数（解析版）

专题3.6对数与对数函数题型一对数的运算题型二换底公式的应用题型三对数函数的概念题型四对数函数的图象问题题型五对数型函数过定点问题题型六对数函数的定义域和值域问题题型七利用对数的单调性解不等式或比较大小题型八由对数函数的单调性求参数题型九对数函数的最值问题题型十对数函数的实际应用题型十一反函数题型一对数的运算例1．（2023·山东淄博·统考二模）设0,0pq，满足469logloglog2pqpq，则pq__________.【答案】12/0.5【分析】令469logloglog2pqpqk，则23kkpq，根据22469kkkpq即可求解．【详解】令469logloglog2pqpqk，则4,6,29kkkpqpq，所以22469kkkpq，整理得2222133kkk，解得2132kk(负值舍去)，所以421632kkkkpq.故答案为：12.例2．（2023·天津·统考二模）已知2823,log9xy，则2xy（）A．3B．5C．22log3D．32【答案】A【分析】根据指对运算化简2log3x，再根据对数运算法则计算2xy的值.【详解】223log3xx，28log9y222228822log3loglog3log8399xy.故选：A.练习1．（2021秋·高三课时练习）计算：log43×lg2lg9=____．【答案】14/0.25【分析】利用对数换底公式化简计算即可.【详解】原式22lg3lg2lg3lg2lg3lg21lg4lg9lg2lg32lg22lg34.故答案为：14练习2．计算：(1)lg8lg125lg2lg5lg10lg0.1；(2)223666661log2log33log2log18log23【答案】(1)4(2)1【分析】（1）根据对数的运算法则化简求值；（2）根据对数的运算法则和对数的性质化简求值．【详解】（1）lg8lg125lg2lg5lg10lg0.11128125lg25lg10lg102lg101124；（2）223666661log2log33log2log18log233226666318log2log33log2log22236666log2log33log2log9226666log2log32log2log3266log2log31．练习3．（2021秋·高三课时练习）（多选）下列正确的是（）A．31log4232B．12lne49C．若3loglg1x，则1000xD．若7logabc，则7cba【答案】BCD【分析】利用对数和指数的运算可判断AB选项；利用指数与对数的互化可判断CD选项.【详解】对于A选项，333log411log4log4223334，A错；对于B选项，12lne3149，B对；对于C选项，因为3loglg1x，则lg3x，所以，3101000x，C对；对于D选项，因为7logabc，则7cba，所以，7cba，D对.故选：BCD.练习4．（2023春·湖北·高一校联考期中）已知22log1,011,03xxxfxx，则1ff的值为_______________．【答案】5【分析】代入求解分段函数的函数值.【详解】∵11(1)()13143f，∴2422((1))(4)log41log21415fff故答案为：5.练习5．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知522a，4bn，若32ab，则n的值为（）A．5B．5C．55D．25【答案】D【分析】利用指对数互化，及对数运算性质可得3ln4ln5nab，结合已知列方程求n值.【详解】由题设5ln223ln2log22ln5ln5a，4lnlnlogln44ln2nnbn，所以3ln34ln52nab，则ln2ln5n，即25n.故选：D题型二换底公式的应用例3．求下列各式的值．(1)2log532511()lnlog5log9lg42lg52e．(2)已知lg2a，lg3b，求2log12的值．【答案】(1)115(2)2ba【分析】根据对数运算规则以及换底公式计算即可.【详解】（1）22log5log515532555log5log911lnlog5log9lg4lg252lnelg4252elog3log25122log5215552555log5log32log311121lg10512log3log5log325；（2）222222lg3log12log23log2log322lg2ba..例4．（2023·全国·高三专题练习）422log30.532314964log3log2225627=______【答案】1【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.【详解】原式=4123232log3494122563=42log3791216161311．故答案为：1.练习6．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）若123abm，且112ab，则m__________．【答案】2【分析】将条件中的指数式转化为对数式，求出11,ab，代入112ab，利用对数的运算性质可得m.【详解】123abm，且112ab，0m且1m，123log,logambm，11log12,log3mmab，11log12log3log42mmmab，2m.故答案为：2.练习7．（2022秋·新疆喀什·高三校考阶段练习）若2336ab，则22abab＝___．【答案】1【分析】先由2336ab求出,ab，再根据换底公式，即可求出结果.【详解】因为2336ab，所以2log36a，3log36b，因此361log2a，361log3b，所以363636221122log3log22log61ababba.故答案为：1.练习8．（2023秋·福建厦门·高三统考期末）已知lg2,lg3ab,则2log12＝（）A．a+bB．2a-bC．2abaD．2aba【答案】C【分析】根据换底公式将2log12写为lg12lg2,再用对数运算法则展开,将lg2,lg3ab代入即可.【详解】解:因为lg2,lg3ab,而2lg12lg4lg32lg2lg32log12lg2lg2lg2aba.故选:C练习9．（2022秋·江西景德镇·高三景德镇一中校考期末）（多选）已知0a，0b，且满足9ab，3log3ab，则b的可能取值为（）A．13B．3C．19D．9【答案】BD【分析】根据指对互化得和对数的运算性质得2log3ba，代入得到关于3logb的方程，解出即可.【详解】0,0ab，则由9ab可得log92log3bba,33332log2log3loglog3logbabbbb，即233log3log20bb，解得3log1b或3log2b，3b或9b.故选：BD.练习10．（2022秋·山东青岛·高三校考期中）若232018log3log4log2019a，则a的范围是（）A．0,1B．1,2C．10,11D．11,12【答案】C【分析】利用换底公式以及对数函数的单调性求解.【详解】2320182lg3lg4lg2019lg2019log3log4log2019log2019lg2lg3lg2018lg2a，∵1021024，1122048，1011222log2log2019log2，∴10,11a，故选：C．题型三对数函数的概念例5．（2022秋·高三课时练习）（多选）下列函数为对数函数的是（）A．1logmfxx（1m，且2m）B．3lgfxxC．lnfxxD．lnefxx【答案】AC【分析】根据对数函数的定义判断各选项即可.【详解】形如logayx（0a，且1a）的函数为对数函数，对于A，由1m，且2m，可知10m，且11m，故A符合题意；对于B，不符合题意；对于C，符合题意；对于D，不符合题意；故选：AC.例6．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）若对数函数的图象过点8,3P，则14f__________．【答案】2【分析】首先求解对数函数，再代入求值.【详解】设对数函数logafxx（0a，且1a），因为函数图象过点8,3P，所以log83a，得2a，所以211log244f.故答案为：2练习11．（2022·高三课时练习）下列函数是对数函数的是()A．2logyxB．ln(1)yxC．logexyD．logxyx【答案】A【详解】对数函数logayx（0a且1a），其中a为常数，x为自变量．对于选项A，符合对数函数定义；对于选项B，真数部分是1x，不是自变量x，故它不是对数函数；对于选项C，底数是变量x，不是常数，故它不是对数函数；对于选项D，底数是变量x，不是常数，故它不是对数函数．故选：A．练习12．（2021·高三课时练习）给出下列函数：（1）logyx；（2）logeyx；（3）10logyx；（4）logayex；（5）22logyx；（6）2log1yx．其中是对数函数的是______．（将符合的序号全填上）【答案】（1）（2）（3）【分析】根据对数函数的定义判断．【详解】（4）的系数不是1，（5）的真数不是x，（6）的真数不是x．故答案为：（1）（2）（3）．练习13．（2022·高三单元测试）下列函数中，是对数函数的是（）A．y＝logxa(x0且x≠1)B．y＝log2x－1C．2lgyxD．y＝log5x【答案】D【分析】根据对数函数的定义判断．【详解】A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义．故选：D.练习14．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）写出满足条件“函数yfx在0,上单调递增，且fxyfxfy”的一个函数fx___________.【答案】2logx【分析】根据已知确定函数形式，再结合单调性举练习．【详解】fxyfxfy是对数函数模型，2logfxx满足条件.故答案为：2logx．练习15．（2023·高三课时练习）若对数函数的图象过点4,2，则此函数的表达式为______.【答案】12log0yxx【分析】将点4,2代入对数解析式求出底数，即可求解.【详解】设对数函数为logayx，0,1a，因为对数函数的图象过点4,2，所以2log4a，即2242a，解得12a，所以12log0yxx.故答案为：12log0yxx题型四对数函数的图象问题例7．（2023秋·山东德州·高一统考期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途