专题3.8 抽象函数问题（解析版）

专题3.8抽象函数问题题型一抽象函数的定义域题型二抽象函数的值域题型三求抽象函数的解析式题型四抽象函数的奇偶性题型五抽象函数的周期性题型六抽象函数求解不等式题型一抽象函数的定义域例1．（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知函数()fx的定义域为[0,4]，则21fxx的定义域为（）A．[1,4]B．[1,2]C．(1,4]D．(1,2]【答案】D【分析】若函数()fx的定义域为A，则复合函数(())fgx有意义要满足()gxA.【详解】因为函数()fx的定义域为[0,4]，则21fxx有意义要满足20410xx，解得(1,2]x，故选：D例2．（2022秋·山东德州·高三校考阶段练习）若函数fx的定义域为0,4，则函数121gxfxx的定义域为（）A．1,2B．1,4C．1,2D．1,4【答案】C【分析】根据题意可得出关于x的不等式组，由此可解得函数gx的定义域.【详解】解：因为函数fx的定义域为0,4，对于函数121gxfxx，则02410xx，解得12x，即函数121gxfxx的定义域为1,2.故选：C练习1．（2023秋·陕西西安·高三统考期末）若函数()fx的定义域为(2,16)，则函数3(2)log(1)fxyx的定义域为（）A．(1,8)B．(1,32)C．(1,2)(2,8)D．(1,2)(2,32)【答案】C【分析】根据对数的真数大于零，分式的分母不为零，以及2216x可求得结果.【详解】因为函数()fx的定义域为(2,16)，所以要使3(2)log(1)fxyx有意义，则22161011xxx，解得18x且2x，所以原函数的定义域为(1,2)(2,8)，故选：C．练习2．（2023秋·辽宁沈阳·高三统考期末）已知函数1yfx的定义域为1,2，则函数21yfx的定义域为（）A．1,12B．3,22C．1,1D．3,5【答案】B【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.【详解】∵函数1yfx的定义域为1,2，即12x，可得213x，∴函数yfx的定义域为2,3，令2213x，解得322x，故函数21yfx的定义域为3,22.故选：B.练习3．（2023秋·江苏扬州·高三期末）已知函数23fx的定义域为1,4，设函数21287fxFxxx，则函数Fx的定义域是______.【答案】1,3【分析】由23fx的定义域得出5235x剟，进而由25125870xxx得出所求.【详解】因为函数23fx的定义域为1,4，所以14x剟，5235x剟即25125870xxx，解得13x故函数21287fxFxxx，则函数Fx的定义域是1,3故答案为：1,3练习4．（2023春·江西宜春·高二校考开学考试）若函数2xf的定义域为0,2，则函数14xf的定义域为____________.【答案】0,1【分析】利用抽象函数定义域的求法及指数函数的单调性求解即可.【详解】对于2xf，因为02x，所以由2xy的单调性得02222x，即124x，所以对于14xf，有1144x，即011444x，由4xy的单调性得011x，解得01x，所以14xf的定义域为0,1.故答案为：0,1.练习5．（2022秋·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数11xfx的定义域为(2,0)，则(21)fx的定义域为（）A．11(,)22B．(5,1)C．2(0,)3D．1(3,)3【答案】C【分析】由已知条件求得fx的定义域，再由fx的定义域求出(21)fx的定义域即可.【详解】∵函数11xfx的定义域为(2,0)，即20x，∴1122111,1113xxxxx，又∵11213x，解得203x，∴(21)fx的定义域为2(0,)3,故选：C.题型二抽象函数的值域例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx对任意xR，都有1()(2)2fxfx，当[0x，2]时，2()2fxxx，则函数()fx在[2，6]上的值域为（）A．[0，1]B．1[2，0]C．[2，0]D．[2，4]【答案】D【分析】当[0x，2]时，2()2fxxx，利用1()(2)2fxfx，将区间2,0,2,4,4,6的自变量x利用加减转化到区间0,2上，从而进行值域的求解【详解】当[0x，2]时，2()(2)1(1)[0fxxxx，1]，则当[2x，0]时，即2[0x，2]，所以11()(2)[,0]22fxfx；当[2x，4]时，即2[0x，2]，由1()(2)2fxfx，得(2)2()fxfx，从而()2(2)[2fxfx，0]；当[4x，6]时，即2[2x，4]，则()2(2)[0fxfx，4]．综上得函数()fx在[2，6]上的值域为[2，4]．故选：D．例4．（2021·全国·高一专题练习）函数()fx的定义域为(0,)，且对任意0x，0y都有()()1xffxfyy，且(2)=2f，当1x时，有()1fx.（1）求1f，4f的值；（2）判断()fx的单调性并加以证明；（3）求()fx在[1，16]上的值域.【答案】（1）f(1)=1，f(4)=3；（2）()fx在0,上为增函数，证明见解析；（3）1,5.【分析】（1）可令1xy解得1f，再令4x，2y可得f（4）；（2）函数()fx在0+，上为增函数，可令120xx，运用条件和单调性的定义，即可得证；（3）运用函数的单调性和赋值法，即可得到所求值域.【详解】（1）可令1xy时，1f=1f-1f11；令4x，2y可得f（2）=f（4）-f（2）1，即f（4）3；（2）函数()fx在0+，上为增函数.证明：当1x时，有()1fx，可令120xx，即有211xx，则2211()()()11xffxfxx，可得21()()fxfx，则()fx在0+，上递增；（3）由()fx在0+，上为增函数，可得()fx在1,16递增，可得11f为最小值，(16)f为最大值，由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得(16)2415ff，则()fx的值域为1,5.练习6．（2022·全国·高三专题练习）fx是R上的奇函数，gx是R上的偶函数，若函数fxgx的值域为1,4，则fxgx的值域为_____________．【答案】4,1【分析】利用函数奇偶性的定义结合fxgx的值域即可求出fxgx的值域.【详解】解：由fx是R上的奇函数，gx是R上的偶函数得到fxfx，gxgx因为函数fxgx的值域为1,4即14fxgx所以14fxgx又fxfx，gxgx得41fxgx所以fxgx的值域为：4,1.故答案为：4,1.练习7．（2022秋·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）已知函数()yfx的定义域是R，值域为[1,2]，则值域也为[1,2]的函数是（）A．2()1yfxB．|(21)|yfxC．()1yfxD．|()|yfx【答案】C【分析】根据()fx的值域为[1,2]，即1()2fx剟，即可求出2()1fx，(21)fx，()1fx，以及|()|fx的范围，从而可求解．【详解】()fx的定义域为R，值域为[1,2]，即1()2fx剟；对于A,2()11,5yfx，即2()1yfx的值域为1,5，故A错误；对于B,(21)[1,2]yfx，即(21)yfx的值域为0,2,故B错误；对于C,()2,1yfx，即()1yfx的值域为[1,2]，故C正确；对于D,|()|0,2yfx，即|()|yfx的值域为0,2，故D错误．故选：C．练习8．（2022·高一课时练习）已知函数fx的定义域为1,，值域为R，则（）A．函数21fx的定义域为RB．函数211fx的值域为RC．函数222fxx的定义域和值域都是RD．函数ffx的定义域和值域都是R【答案】B【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令211x，推出21fx的定义域判断正误；对于B选项：因为fx的值域为R，所以21fx的值域为R，进而推导出211fx的值域，判断正误；对于C选项：令2221xx，求出函数222fxx的定义域，即可判断正误；对于D选项：若函数ffx的值域为R，则1fx，即可判断正误；【详解】对于A选项：令211x，可得0x，所以函数21fx的定义域为0xx，故A选项错误；对于B选项：因为fx的值域为R，211x，所以21fx的值域为R，可得函数211fx的值域为R，故B选项正确；对于C选项：令2221xx，得1x，所以函数222fxx的定义域为1xx，故C选项错误；对于D选项：若函数ffx的值域为R，则1fx，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.故选：B练习9．（2022秋·河北保定·高三河北省曲阳县第一高级中学校考阶段练习）已知函数yfx的定义域是R，值域为1,2，则下列四个函数①21yfx；②21yfx；③12fxy；④2log11yfx，其中值域也为1,2的函数个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项.【详解】对于①，因为12fx，则211,3yfx，①不满足条件；对于②，对于函数21yfx，21xR，则函数21yfx的值域为1,2，②满足条件；对于③，因为12fx，则1,221fxy，③满足条件；对于④，因为12fx，11,2fx，则2log111,2yfx，④满足条件.故选：B.练习10．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考阶段练习）若函数()yfx的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)Fxfxfx的值域是________.【答案】10[2,]3【分析】由给定条件求出(21)fx的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.【详解】因函数()yfx的值域是1[,3]2，从而得函数(21)tfx值域为1[,3]2，函数()Fx变为1ytt，1[,3]2t，由对勾函数的性质知1ytt在1[,1]2上递减，在[1,3]上递增，1t时，min2y，而12t时，52y，3t时，103y，即max103y，所以原函数值域是10[2,]3.故答案为：10[2,]3题型三求抽象函数的解析式例5．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：