专题3.8 抽象函数问题（原卷版）

专题3.8抽象函数问题题型一抽象函数的定义域题型二抽象函数的值域题型三求抽象函数的解析式题型四抽象函数的奇偶性题型五抽象函数的周期性题型六抽象函数求解不等式题型一抽象函数的定义域例1．（2022秋·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）已知函数()fx的定义域为[0,4]，则21fxx的定义域为（）A．[1,4]B．[1,2]C．(1,4]D．(1,2]例2．（2022秋·山东德州·高三校考阶段练习）若函数fx的定义域为0,4，则函数121gxfxx的定义域为（）A．1,2B．1,4C．1,2D．1,4练习1．（2023秋·陕西西安·高三统考期末）若函数()fx的定义域为(2,16)，则函数3(2)log(1)fxyx的定义域为（）A．(1,8)B．(1,32)C．(1,2)(2,8)D．(1,2)(2,32)练习2．（2023秋·辽宁沈阳·高三统考期末）已知函数1yfx的定义域为1,2，则函数21yfx的定义域为（）A．1,12B．3,22C．1,1D．3,5练习3．（2023秋·江苏扬州·高三期末）已知函数23fx的定义域为1,4，设函数21287fxFxxx，则函数Fx的定义域是______.练习4．（2023春·江西宜春·高二校考开学考试）若函数2xf的定义域为0,2，则函数14xf的定义域为____________.练习5．（2022秋·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数11xfx的定义域为(2,0)，则(21)fx的定义域为（）A．11(,)22B．(5,1)C．2(0,)3D．1(3,)3题型二抽象函数的值域例3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()fx对任意xR，都有1()(2)2fxfx，当[0x，2]时，2()2fxxx，则函数()fx在[2，6]上的值域为（）A．[0，1]B．1[2，0]C．[2，0]D．[2，4]例4．（2021·全国·高一专题练习）函数()fx的定义域为(0,)，且对任意0x，0y都有()()1xffxfyy，且(2)=2f，当1x时，有()1fx.（1）求1f，4f的值；（2）判断()fx的单调性并加以证明；（3）求()fx在[1，16]上的值域.练习6．（2022·全国·高三专题练习）fx是R上的奇函数，gx是R上的偶函数，若函数fxgx的值域为1,4，则fxgx的值域为_____________．练习7．（2022秋·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）已知函数()yfx的定义域是R，值域为[1,2]，则值域也为[1,2]的函数是（）A．2()1yfxB．|(21)|yfxC．()1yfxD．|()|yfx练习8．（2022·高一课时练习）已知函数fx的定义域为1,，值域为R，则（）A．函数21fx的定义域为RB．函数211fx的值域为RC．函数222fxx的定义域和值域都是RD．函数ffx的定义域和值域都是R练习9．（2022秋·河北保定·高三河北省曲阳县第一高级中学校考阶段练习）已知函数yfx的定义域是R，值域为1,2，则下列四个函数①21yfx；②21yfx；③12fxy；④2log11yfx，其中值域也为1,2的函数个数是（）A．4B．3C．2D．1练习10．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考阶段练习）若函数()yfx的值域是1[,3]2，则函数1()(21)(21)Fxfxfx的值域是________.题型三求抽象函数的解析式例5．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：2fxyfxfyxy的函数解析式为______.例6．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）（多选）已知函数fx的定义域为R，且fxyfxfyfxfy，0x时，0fx，23f，则（）A．11fB．函数fx在区间0,单调递增C．函数fx是奇函数D．函数fx的一个解析式为21xfx练习11．（2023秋·江苏南京·高三统考期末）（多选）已知函数yfx，对于任意,Rxy，fxfxyfy，则（）A．01fB．22fxfxC．0fxD．22fxfyxyf≥练习12．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数fx满足以下条件：①在区间0,上单调递增；②对任意1x，2x，均有12121fxxfxfx，则fx的一个解析式为______．练习13．（2019秋·山西运城·高一校考阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足：①对任意的,xyR，都有fxyfxfy；②当1x时，0fx.（1）求证：10f；（2）求证：对任意的xR，都有1ffxx；练习14．（2022·全国·高一专题练习）若函数f（x）满足12ffxx，则f（x）可以是___．（举出一个即可）练习15．（2022秋·江苏南京·高一南京市第十三中学校考阶段练习）写出同时满足条件“①函数fx为增函数，②fxyfxfy”的一个函数fx_____．题型四抽象函数的奇偶性例7．（2022秋·广西玉林·高三校联考阶段练习）已知1fx是定义域为R的奇函数，23gxfx是定义域为R的偶函数，则（）A．20gB．03gC．30fD．50f例8．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数fx，满足x，Ry都有222xyyyffxfxf．则（）A．00fB．01fC．fx为奇函数D．fx为偶函数练习16．（2023秋·辽宁锦州·高三统考期末）已知函数yfx对任意实数x，y都满足2fxfyfxyfxy，且11f，则（）A．fx是偶函数B．fx是奇函数C．10fxfxD．202311kfk练习17．（2023春·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知定义在,00,U上的函数fx满足a，,00,b，affafbb，且当0,1x时，0fx，则下列说法正确的是（）A．fx是奇函数但不是偶函数B．fx是偶函数但不是奇函数C．fx既是奇函数又是偶函数D．fx既不是奇函数也不是偶函数练习18．（2023秋·浙江衢州·高三统考期末）（多选）已知定义在R上的非常数函数fx满足1fxyfxfy，则（）A．01fB．1fx为奇函数C．fx是增函数D．fx是周期函数练习19．（2022秋·高三单元测试）若定义在R上的函数fx满足：对任意12,Rxx，有1212()()()1fxxfxfx，则下列说法中：①1fx为奇函数；②1fx为偶函数；③1fx为奇函数；④1fx为偶函数.一定正确的是_________________.练习20.（2023春·广东广州·高三统考开学考试）（多选）若定义在,00,U上的函数fx满足：fxyfxfy，且21f，则下列结论中正确的是（）A．10fB．42fC．0fxfxD．0fxfx题型五抽象函数的周期性例9．（2023春·广西柳州·高二柳州市第三中学校考阶段练习）若定义2023,2023上的函数fx满足：对任意12,2023,2023xx有12122022fxxfxfx若fx的最大值和最小值分别为,MN，则MN的值为（）A．2022B．2018C．4036D．4044例10．（2023·山西太原·太原五中校考一模）（多选）已知定义域为R的函数fx对任意实数,xy都有2fxyfxyfxfy，且102f，则以下结论一定正确的有（）A．01fB．fx是偶函数C．fx关于1,02中心对称D．1220230fff练习16．（2023·河南开封·统考三模）已知函数fx（）的定义域为R，fx（）为奇函数，1fx（）为偶函数，且2211kfk，则1f（）A．1B．0C．1D．2练习17．（2023·安徽合肥·二模）若定义域为R的奇函数()fx满足()(1)(1)fxfxfx，且(1)2f，则(2024)f________．练习18．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知fx是定义在R上的奇函数，若32fx为偶函数且12f，则202220232024fff（）A．2B．0C．2D．4练习19．（2023春·四川凉山·高二宁南中学校考阶段练习）已知定义在R上的函数fx满足2fxfx，且函数1fx是偶函数，当1,0x时，21fxx，则20235f（）A．925B．1625C．3425D．4125练习20．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知fx，gx都是定义在R上的函数，对任意x，y满足fxyfxgygxfy，且210ff，则下列说法正确的是（）A．01fB．函数21gx的图象关于点1,0对称C．110ggD．若11f，则202311nfn题型六抽象函数求解不等式例11．（2022·海南·校联考模拟预测）（多选）已知定义在R上的函数fx不恒等于零，同时满足fxyfxfy，且当0x时，2022fx，那么当0x时，下列结论不正确的为（）A．10fxB．1fxC．1fxD．102022fx例12．（2023·高三课时练习）已知fx是定义在R上的减函数，且对,xyR，fxyfxfy，若110fx，则x的取值范围为（）A．1,B．0,1C．0,D．1,0练习21．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考期中）已知函数()()yfxxR的图象如图所示，则不等式()0xfx的解集为______．练习22．（2022秋·高三课时练习）已知函数()fx的定义域为(0,5)，函数()gx的定义域为[1,6]．若不等式()()fxgx的解集为(2,3)，则不等式()()fxgx„的解集为_________．练习23．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考开学考试）已知定义域为R的奇函数fx在区间(0,)上为严格减函数，且20f，则不等式(1)01fxx的解集为___________.练习24．（2022秋·甘肃兰州·高三西北师大附中校考期中）已知偶函数fx在0,上单调递减，若211faf，则实数a的取值范围为___________.练习25．（2022秋·辽宁朝阳·高一校联考阶段练习）若定义域为R的奇函数fx在,0上单调递减，且20f，则满足20)(xfxx的x的取值范围是（）A．2,02,B．3,10