专题4.1 导数的概念及几何意义（解析版）

专题4.1导数的运算及几何意义题型一平均变化率和瞬时变化率题型二导数的定义运算题型三导数的四则运算和复合函数求导题型四求曲线切线的斜率（倾斜角）题型五曲线上一点处的切线问题题型六过一点的切点问题题型七已知切线（斜率）求参数题型八两切线的平行、垂直问题题型九公切线问题题型一平均变化率和瞬时变化率例1．（北京市第十四中学2022-2023学年高二下学期期中测试数学试题）下图是函数yfx的图象，函数fx在区间1,1，1,3上的平均变化率分别为1m，2m，则1m，2m的大小关系是（）A．12mmB．12mmC．12mmD．无法确定【答案】B【分析】根据平均变化率定义直接计算即可.【详解】由题可知，12111(1)2m，242131m，所以12mm.故选：B例2．（福建省2022-2023学年高三下学期质优生“筑梦”联考数学试题）某铁球在0C时，半径为1dm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为tC时铁球的半径为1dmat，其中a为常数，则在0t时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（）A．0B．πaC．4π3aD．4πa【答案】D【分析】根据题意，由球的体积公式可得314π3tVa，求导即可得到结果.【详解】由题意可得，当温度为tC时，铁球的半径为1dmat，其体积314π3tVa，求导可得2214ππ4313ataaatV，当0t时，4πVa，所以在0t时，铁球体积对温度的瞬时变化率为4πa.故选:D练习1．（2023春·江西·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段12,tt，23,tt，34,tt，14,tt上的平均速度的大小分别为1v，2v，3v，4v，则平均速度最小的是（）A．1vB．2vC．3vD．4v【答案】C【分析】根据平均速度的定义和两点求斜率公式，可得平均速度为经过两点所对应直线的斜率，结合图形即可求解.【详解】由题意知，汽车在时间12233414[,],[,],[,],[,]tttttttt的平均速度大小分别为1234,,,vvvv，设路程y与时间t的函数关系为()yft，则21121()()ftftvtt，即为经过点1122(,()),(,())tfttft的直线的斜率1k，同理2v为经过点2233(,()),(,())tfttft的直线的斜率2k，3v为经过点3344(,()),(,())tfttft的直线的斜率3k，4v为经过点1144(,()),(,())tfttft的直线的斜率4k，如图，由图可知，3k最小，即3v最小.故选：C.练习2．（2023春·贵州·高三校联考期中）函数221fxx在区间1,5上的平均变化率为（）A．2B．6C．12D．48【答案】C【分析】根据平均变化率的计算公式，结合函数fx的解析式，准确计算，即可求解.【详解】根据平均变化率的计算公式，可得函数221fxx在区间1,5的平均变化率为：22(5)(1)(251)(211)12514ff.故选：C.练习3．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似满足函数关系式：120155Ttt，其中Tt为蜥蜴的体温（单位：C），t为太阳落山后的时间（单位：min）．(1)求10T，并解释其实际意义；(2)蜥蜴体温的瞬时变化率为1C/min时的时刻t是多少（精确到0.01）？【答案】(1)81015T，实际意义见解析；(2)5.95min.【分析】（1）求出Tt的导数，代入10x可求10T，根据导数的几何意义解释其实际意义；（2）求解()1Tt即可.【详解】（1）2120()5Ttt，则212081015105T，表示太阳落山后10min，蜥蜴的体温下降的速度为8C/min15.（2）令2120()15Ttt，解得230525.47755.95t,故蜥蜴体温的瞬时变化率为1C/min时的时刻是5.95min.练习4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图，从上端口往一高为H的水缸匀速注入水，水注满所用时间为T.若当水深为h时，水注入所用时间为t，则函数hft的图像大致是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】将容器看做一个球体，根据ht的实际意义求解.【详解】将容器看做一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的Δt时间，高度h的变化较大，即ΔΔht较大，即函数ht的导数值较大，到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，ht的变化率较小，接近于球体的顶端时，ht的变化率又较大；故选：D.练习5．（2023春·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）若小球自由落体的运动方程为212stgt（g为常数），该小球在1t到3t的平均速度为v，在2t的瞬时速度为2v，则v和2v的大小关系为v________2v（填“”，“”或“”）【答案】【分析】根据给定条件，利用平均速度和瞬时速度的意义，求出v和2v即可作答.【详解】小球自由落体的运动方程为212stgt，求导得()stgt，则小球在1t到3t的平均速度221131(3)(1)222312ggssvg，在2t的瞬时速度2(2)2vsg，所以2vv.故答案为：题型二导数的定义运算例3．（江西省部分学校2022-2023学年高三下学期4月期中联考数学试题）已知13f，则0131limxfxfx（）A．1B．3C．6D．9【答案】D【分析】利用导数的定义式以及极限的性质可求答案.【详解】00131131lim3lim3193xxfxffxffxx.故选：D.例4．若fx在0x处可导，则0fx可以等于（）．A．000limxfxfxxxB．000limxfxxfxxxC．0002limxfxxfxxxD．0002limxfxxfxxx【答案】A【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断得出结果.【详解】由导数定义0000=limxfxxfxxxf，对于A，000000000=limlimxxfxfxxfxfxxfxxxxx，A满足；对于B，000000000limlim2=xxfxxfxxfxxfxxxxxxxxf，00001=lim2xffxxfxxxx，B不满足；对于C，00000000022lim=l=im23xxfxxfxxfxxfxxxxxxxfx，000021lim3=xfxxfxfxxx，C不满足；对于D，00000000022limlim23=xxfxxfxxfxxfxxxxxxxxf，0000132=limxfxxfxxxfx，D不满足.故选：A.练习6．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）设函数1()1fxx，则0(13)(1)limxfxfx（）A．3B．13C．13D．0【答案】A【分析】根据导数的定义以及导数运算公式求解.【详解】因为00(13)(1)(13)(1)lim3lim3(1)3xxfxffxffxx，因为21()fxx，所以(1)1f，所以3(1)3f，故选:A.练习7．（2023春·四川达州·高三校考期中）已知函数lnfxx，则22lim2xfxfx________．【答案】12/0.5【分析】根据导函数的定义及求导公式求出答案.【详解】由题意知1fxx，202221limlim222xxfxffxffxx.故答案为：12练习8．（2023·高三课时练习）如图，函数yfx的图象在点P处的切线方程是8yx，则055limxfxfxx（）A．12B．2C．1D．2【答案】D【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到51f，利用导数的概念解出即可.【详解】依题意可知切点5,3P，函数yfx的图象在点P处的切线方程是8yx，51f，即055lim1xfxfx005555lim2lim2xxfxfxfxfxxx又005555limlim12xxfxfxfxfxx005555lim2lim22xxfxfxfxfxxx即055lim2xfxfxx故选：D.练习9．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数fx在=1x处可导，且()13f¢-=-，则0(1)(1)lim3xffxx（）A．3B．1C．1D．3【答案】C【分析】根据导数的定义可得011l1im3xfxffx，再根据极限的性质计算可得.【详解】因为函数fx在=1x处可导，且()13f¢-=-，所以011l1im3xfxffx，所以00111111limlim31333xxffxfxfxx.故选：C练习10．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）计算：0sin2()sin(2)limhxhxh（）A．0B．cos2xC．2cosxD．2cos2x【答案】D【分析】变换得到0sin2()sin(2)lim2sin2hxhxxh，计算得到答案.【详解】设sin(2)fxx则00sin2()sin(2)()()limlimsin22cos2hhxhxfxhfxfxxxhh.故选：D.题型三导数的四则运算和复合函数求导例5．（四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三下学期期中联考理科数学试题）函数()2sinxfxx的导函数为（）A．)2cosxfxxB．)2ln2cosxfxxC．)2cosxfxxD．)2ln2cosxfxx【答案】D【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.【详解】函数()2sinxfxx，求导得)2ln2cosxfxx.故选：D例6．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）求下列已知函数的导函数(1)23xfxx(2)53(5)fxx(3)22cossinfxxx(4)ln321xfxx【答案】(1)3ln32xx(2)235(5)3x(3)2sin2x(4)2212ln3(21)xxxxx【分析】根据导数的四则运算以及复合函数的导数，即可逐一求解.【详解】（1）3ln32xfxx（2