专题4.1 导数的概念及几何意义（原卷版）

专题4.1导数的运算及几何意义题型一平均变化率和瞬时变化率题型二导数的定义运算题型三导数的四则运算和复合函数求导题型四求曲线切线的斜率（倾斜角）题型五曲线上一点处的切线问题题型六过一点的切点问题题型七已知切线（斜率）求参数题型八两切线的平行、垂直问题题型九公切线问题题型一平均变化率和瞬时变化率例1．（北京市第十四中学2022-2023学年高二下学期期中测试数学试题）下图是函数yfx的图象，函数fx在区间1,1，1,3上的平均变化率分别为1m，2m，则1m，2m的大小关系是（）A．12mmB．12mmC．12mmD．无法确定例2．（福建省2022-2023学年高三下学期质优生“筑梦”联考数学试题）某铁球在0C时，半径为1dm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为tC时铁球的半径为1dmat，其中a为常数，则在0t时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（）A．0B．πaC．4π3aD．4πa练习1．（2023春·江西·高二校联考期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段12,tt，23,tt，34,tt，14,tt上的平均速度的大小分别为1v，2v，3v，4v，则平均速度最小的是（）A．1vB．2vC．3vD．4v练习2．（2023春·贵州·高三校联考期中）函数221fxx在区间1,5上的平均变化率为（）A．2B．6C．12D．48练习3．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似满足函数关系式：120155Ttt，其中Tt为蜥蜴的体温（单位：C），t为太阳落山后的时间（单位：min）．(1)求10T，并解释其实际意义；(2)蜥蜴体温的瞬时变化率为1C/min时的时刻t是多少（精确到0.01）？练习4．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）如图，从上端口往一高为H的水缸匀速注入水，水注满所用时间为T.若当水深为h时，水注入所用时间为t，则函数hft的图像大致是（）A．B．C．D．练习5．（2023春·浙江杭州·高三杭州四中校考期中）若小球自由落体的运动方程为212stgt（g为常数），该小球在1t到3t的平均速度为v，在2t的瞬时速度为2v，则v和2v的大小关系为v________2v（填“”，“”或“”）题型二导数的定义运算例3．（江西省部分学校2022-2023学年高三下学期4月期中联考数学试题）已知13f，则0131limxfxfx（）A．1B．3C．6D．9例4．若fx在0x处可导，则0fx可以等于（）．A．000limxfxfxxxB．000limxfxxfxxxC．0002limxfxxfxxxD．0002limxfxxfxxx练习6．（2023春·湖北武汉·高二校联考阶段练习）设函数1()1fxx，则0(13)(1)limxfxfx（）A．3B．13C．13D．0练习7．（2023春·四川达州·高三校考期中）已知函数lnfxx，则22lim2xfxfx________．练习8．（2023·高三课时练习）如图，函数yfx的图象在点P处的切线方程是8yx，则055limxfxfxx（）A．12B．2C．1D．2练习9．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数fx在=1x处可导，且()13f¢-=-，则0(1)(1)lim3xffxx（）A．3B．1C．1D．3练习10．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）计算：0sin2()sin(2)limhxhxh（）A．0B．cos2xC．2cosxD．2cos2x题型三导数的四则运算和复合函数求导例5．（四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三下学期期中联考理科数学试题）函数()2sinxfxx的导函数为（）A．)2cosxfxxB．)2ln2cosxfxxC．)2cosxfxxD．)2ln2cosxfxx例6．（黑龙江省哈尔滨市第九中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题）求下列已知函数的导函数(1)23xfxx(2)53(5)fxx(3)22cossinfxxx(4)ln321xfxx练习11．（2023春·江西·高三校联考期中）求下列函数的导数：(1)cossincosxyxx；(2)221exyx.练习12．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）下列导数运算正确的是（）A．cossinxxB．22xxC．31logln3xxD．211xx练习13．（2023春·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知函数ln21fxxf，则12f________.练习14．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考期中）（多选）下列求导运算错误的是（）A．2331xxxB．32(3)3(3)xxC．33lnxxD．2cos2sinxxxx练习15．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）函数lnyx的导函数的定义域为__________.题型四求曲线切线的斜率（倾斜角）例7．（山东省菏泽市2022-2023学年高三下学期期中数学试题）正弦曲线πsin6yx在点π3,62处的切线斜率是（）A．12B．12C．32D．32例8．（江苏省无锡市四校2022-2023学年高三下学期期中联考数学试题）已知函数fx与gx的部分图象如图所示，则（）A．101gfB．011fgC．101fgD．33fg练习16．（2023·全国·高三专题练习）函数yfx的图象如图所示，fx是函数fx的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．235325ffffB．232553ffffC．532325ffffD．232553ffff练习17．（2023春·山东淄博·高三沂源县第一中学校考期中）若直线ykxn与曲线n1lyxx相切，则k的取值范围是（）A．1,4B．4,C．4,D．1,4练习18．（2023春·江西·高三校联考期中）已知函数fx的导函数为fx，fx的图象如图所示，则（）A．123fxfxfxB．231fxfxfxC．321fxfxfxD．132fxfxfx练习19．（2023秋·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校联考期末）已知点P是曲线4e1xy上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A．π0,4B．ππ,42C．ππ,43D．π0,3练习20．（2023春·四川德阳·高三德阳五中校考阶段练习）若曲线2lnfxxx在1x处的切线的倾斜角为，则22sin25cossin（）A．12B．14C．14D．12题型五曲线上一点处的切线问题例9．（辽宁省锦州市辽西育明高级中学2022-2023学年高三下学期期中数学试题）曲线yx在点4x处的切线方程为（）A．20xyB．440xyC．260xyD．4120xy例10．（四川省成都市蓉城高中联盟2022-2023学年高三下期期中考试理科数学试题）已知lnfxxx，则曲线yfx在点1,(1)f处的切线方程为（）A．10xyB．20xyC．10xyD．20xy练习21．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知lnfxx，则曲线yfx在点e,ef处的切线方程为（）A．1eyxB．yxC．1yxD．11eeyx练习22．（2023春·江苏无锡·高三江阴市华士高级中学校联考期中）已知函数2ln1fxxxf，则fx在(1,(1))f处的切线方程为_______．练习23．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数2eRaxfxxa，若fx的图象在0x处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a（）A．12B．2C．±2D．12练习24．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数22lnfxxx在点1,1f处的切线方程为______________．练习25．（2023·浙江·校联考模拟预测）函数cossinfxxx的图象在点ππ,22f处的切线方程为__________．题型六过一点的切点问题例11．（天津市南开大学附属中学2022-2023学年高三下学期阶段检测数学试题）曲线1yx过点()1,0A的切线方程为______________________.例12．已知经过点2,2的两条直线1l，2l均与曲线3yxm相切，若直线1l的方程为2y，则m的值为______，直线2l的方程为______．练习26．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线2exyx的切线，则切点的横坐标为___________.练习27．（2023春·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知曲线323fxxx，过点(0,0)作曲线的切线，则切线方程________．练习28．（2023·海南海口·校联考模拟预测）过x轴上一点,0Pt作曲线:3exCyx的切线，若这样的切线不存在，则整数t的一个可能值为_________．练习29．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）过点1,2P且与曲线32yfxx相切的直线的方程为（）A．680xyB．640xyC．3210xyD．3270xy练习30．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数22e,0e,0xxxxfxxx，过点0,0O作曲线yfx的切线，则切线的条数为_______________．题型七已知切线（斜率）求参数例13．（2023·广西·统考模拟预测）已知曲线esinxfxax在点0,0f处的切线与直线240xy平行，则实数a的值为________.例14．（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线ayxx相切，则实数a＝（）A．0B．12C．45D．32练习31．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）已知曲线33fxxx在点P处的切线与直线210xy垂直，则P点的横坐标为___________.练习32．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）若曲线2yxaxb在点(0,b)处的切线方程为20xy，则（）A．1a，2bB．1a，2bC．1a，2bD．1a，2b练习33．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知直线yx是曲线lnfxxa的切线，则a（）A．1B．1C．2D．2练习34．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）（多选）已知点1,Pa不在函数()xfxe的图象上，且过点P能作两