专题4.2 导数在研究函数单调性的应用（解析版）

专题4.2导数在研究函数单调性的应用题型一利用导数求函数的单调区间题型二利用导函数图象确定原函数图象题型三利用原函数图象确定导函数图象题型四已知函数在区间上递增（减）求参数题型五已知函数存在单调区间求参数题型六已知函数在区间上不单调求参数题型七利用函数单调性比较大小题型八利用函数单调性解决抽象不等式题型一利用导数求函数的单调区间例1．（2023春·甘肃兰州·高三兰大附中校考阶段练习）函数lnfxxx的单调递减区间为______．【答案】10,e/10,e【分析】利用导数求得fx的单调递减区间.【详解】函数的定义域为0,，∵ln1fxx，令ln10x得10ex，∴函数lnfxxx的单调递减区间是10,e．故答案为：10,e例2．（2023春·天津南开·高三天津二十五中校考阶段练习）函数32fxxxx的单调减区间是（）A．1,3B．1,C．1,3，1,D．1,13【答案】D【分析】由函数的导数小于零，解不等式即可求解.【详解】32,fxxxxxR，21()3213(1)()3xxxxxf，令()0fx，解得113x，所以函数的单调递减区间是1,13.故选：D练习1．（2023·全国·高三对口高考）函数232fxxx的严格增区间是______．【答案】40,3【分析】对fx求导,使其大于零,解得即可.【详解】解:由题知232fxxx,所以243fxxx,令2430fxxx,解得40,3x,所以fx的严格增区间是40,3.故答案为:40,3练习2．（2023春·江苏南京·高二南京市秦淮中学校考阶段练习）已知定义在区间0,π上的函数22sinfxxx，则fx的单调递增区间为______．【答案】π,π4【分析】对fx求导，求出()0fx¢的解即可求出答案.【详解】因为22sinfxxx,则22cosfxx令22cos0fxx,即2cos2x,且0,πx所以π,π4x,所以fx的单调递增区间为π,π4故答案为：π,π4练习3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数ln2ln4fxxx，则fx的单调递增区间为（）A．2,3B．3,4C．,3D．3,【答案】A【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间.【详解】由2040xx得：24x，即fx的定义域为2,4；23112424xfxxxxx，当2,3x时，()0fx¢；当3,4x时，0fx；()fx\的单调递增区间为2,3.故选：A.练习4．（2023秋·山东东营·高三东营市第一中学校考期末）函数e1()1xfxx的单调递增区间为___________．【答案】(,1)，(1,)【分析】对函数求导，判断导函数的正负，导函数分子无法判断正负，再对分子求导，利用导函数的单调性来判断导函数的正负，进而得出原函数的单调区间.【详解】因为函数e1()1xfxx，则2e1()(1)xxfxx．设()e1xhxx，则()(1)exhxx，当1x时，()0hx，()hx在(1,)上单调递增；当1x时，()0hx，()hx在(,1)上单调递减，所以当xR时，1()(1)10ehxh，则当1x时，()0fx．所以()fx的单调递增区间为(,1)，(1,)，故答案为：(,1)，(1,).练习5．（2023·高三课时练习）函数bfxaxx（a、b为正数）的严格减区间是（）．A．,baB．,0ba与0,baC．,0ba与0,baD．,00,bbaa【答案】C【分析】由题得0x，再利用导数求出函数的单调递减区间得解.【详解】解：由题得0x.由2bfxax，令20bfxax解得0bxa或0bxa．所以函数bfxaxx的严格减区间是,0ba与0,ba.选项D，本题的两个单调区间之间不能用“”连接，所以该选项错误.故选：C题型二利用导函数图象确定原函数图象例3．（2023春·安徽安庆·高三安徽省宿松中学校考期中）（多选）如图是函数,3,5yfxx的导函数fx的图象，30f，则下列判断正确的是（）A．fx单调递增区间为1,2,4,5B．20fC．2fxfD．24ff【答案】ABD【分析】由导函数图象的符号判断函数fx在各区间的单调性，再结合函数的性质得出结果.【详解】对于A，由题图知当1,2,4,5xx时，()0fx¢，所以在区间1,2,4,5上，fx单调递增，故A正确；对于B，当3,1x时，0,fxfx单调递减，在1,2x上，0,fxfx单调递增；当2,4x时，0,fxfx单调递减，所以20f，故B正确；对于C，2f不一定是函数的最大值，最大值可能由区间3,5的端点产生，所以C错误；对于D，当2,4x时，0fx，fx单调递减，所以24ff，故D正确；故选：ABD.例4．（2022春·安徽滁州·高三校考期末）定义在R上的函数()fx的导函数为()fx，且()xfx的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数()fx在区间(1,0)上单调递减B．函数()fx在区间(1,5)上单调递减C．函数()fx在5x处取得极大值D．函数()fx在=1x处取得极小值【答案】D【分析】先由函数图像得到()fx在各区间上的正负，再判断单调性及极值即可.【详解】由图像知：当,1x时，()0,()0xfxfx，当1,0x时，()0,()0xfxfx，当0,55,10x时，()0,()0xfxfx，则函数()fx在区间(1,0)上单调递增，A错误，B错误；函数()fx在区间(0,5),(5,10)上单调递减，C错误；函数()fx在,1单减，在(1,0)上单增，在=1x处取得极小值，D正确.故选：D.练习6．（2022·全国·高三专题练习）函数fx的导函数fx的图象大致如下图，则fx可能是（）A．21cos4fxxxB．21cos4fxxxC．21sin4fxxxD．21sin4fxxx【答案】A【分析】对其求导之后，由导函数的奇偶性排除CD，再由选项B中该函数的二阶导函数判定其一阶导函数应在0,2x上单调递增，即可判定答案.【详解】由图可知，fx的导函数fx是一个奇函数，其中选项CD的导函数分别为11cos,cos22fxxxfxxx，其11cos,cos22fxxxfxxx，都为非奇非偶函数，即可排除C,D，其中选项B的11sin,cos22fxxxfxx其中在0,2x显然1cos0,2fxxfx在0,2x上单调递增，与图象不符，错误，故选：A【点睛】本题考查导数的计算，还考查了利用导数分析函数的单调性，以及函数奇偶性的几何意义，属于简单题.练习7．（2023·高二课时练习）将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不．可能．．正确的是A．B．C．D．【答案】D【分析】根据导函数与原函数图象之间的关系，结合选项进行逐一分析即可.【详解】根据0fx，则fx单调递增；0fx，fx单调递减，容易判断,,ABC正确；对选项D：取fx与x轴的两个交点的横坐标为,mn数形结合可知当,xn时，0fx，故此时函数fx应该在此区间单调递减，但从图象上看fx不是单调递减函数，故该选项错误.故选：D.【点睛】本题考查原函数与导函数图象之间的关系，属基础题.练习8．（2023·高二课时练习）（多选）已知函数fx的导函数()fx的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数fx的图象的是A．B．C．D．【答案】BCD【分析】根据导函数的图像，确定函数单调性，进而可判断出结果.【详解】由导函数图像可得：当0x时，()0fx，即函数fx在,0上单调递增；当02x时，()0fx，即函数fx在0,2上单调递减；当2x时，()0fx，即函数fx在2,上单调递增；故BCD错误，A正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查由导函数的图像判定原函数的大致图像，属于基础题型.练习9．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数()yxfx的图象（如图所示）与x轴分别交于原点、点(2,0)和点(2,0)，若3和3是函数()fx的两个零点，则不等式()0fx的解集（）A．(，2)(2，)B．(，3)(3，)C．(，3)(0，2)D．(3，0)(3，)【答案】B【分析】根据()yxfx的图像可得()fx在R上的正负值，进而求得原函数的单调性，再结合()fx的零点画出()fx的简图，进而求得不等式()0fx的解集.【详解】由图，当,2x时0xfx，故0fx，fx为减函数；当2,0x时0xfx，故()0fx¢，fx为增函数；当0,2x时0xfx，故0fx，fx为减函数；由图，当2,x时0xfx，故()0fx¢，fx为增函数；又3和3是函数()fx的两个零点，画出fx的简图如下：故不等式()0fx的解集为,33,.故选：B【点睛】本题主要考查了根据关于导函数的图像，分析原函数单调性从而求得不等式的问题.需要根据题意分段讨论导函数的正负,属于中档题.练习10．（2023春·北京大兴·高二北京市大兴区第一中学校考阶段练习）已知函数()yfx的导函数()yfx的图象如图所示，则函数()yfx的图象可以是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据导数的正负与函数单调性的关系确定正确选项（实际上排除错误选项）．【详解】根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数()fx的图象可知，原函数()fx先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C符合题意，故选：C．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性．根据导函数绝对值的大小得出原函数增减速度的快慢是解题的关键．题型三利用原函数图象确定导函数图象例5．（2022·全国·高三专题练习）函数yfx在定义域3,32内可导，图像如图所示，记yfx的导函数为yfx，则不等式0fx的解集为（）A．1,12,33B．1481,,233C．31,1,223D．3148,,2333【答案】C【分析】0fx的解集即为yfx单调递增区间，结合图像理解判断．【详解】0fx的解集即为yf