蒙日圆定理(解析几何证法)

蒙日圆定理（纯解析几何证法）蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。如图，设椭圆的方程是22221xyab。两切线PM和PN互相垂直，交于点P。求证：点P在圆2222xyab上。证明：若两条切线中有一条平行于x轴时，则另一条必定平行于y轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P的坐标只能是：,specialPab(1)它必定在圆2222xyab上。现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下：:PMykxm(2)1:PNyxnk(3)联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P的坐标为：222,11nmknkmPkk(4)从而P点距离椭圆中心O的距离的平方为：2222222222111nmknkmOPkknkmk(5)现将PM的方程代入椭圆方程，消去y，化简整理得：22222221210kkmmxxabbb(6)由于PM是椭圆的切线，故以上关于x的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得：22222211bmmbak(7)对于切线PN，代入椭圆方程后，消去y，令判别式等于0，同理可得：2222221bnknba(8)为方便起见，令：22222,,,,aAbBmMnNkK(9)这样(7)和(8)就分别化为了关于M和N的一元一次方程，不难解出：MBAK(10)ANBK(11)将(10)和(11)代入(5)，就得到：2221NKMOGABabK(12)证毕。