专题4.4导数在研究函数极值和最值的应用题型一函数极值(点)的辨析题型二最值与极值的辨析题型三求已知函数的极值(点)和最值题型四根据极值(点)求参数题型五根据最值求参数题型六函数(导函数)图象与极值(点)的关系题型七利用导数解决实际问题题型一函数极值(点)的辨析例1.(2023春·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习)(多选)函数fx的导函数yfx在区间,ab上的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.函数fx在1x处有极小值B.函数fx在2x处有极小值C.函数fx在区间,ab内有4个极值点D.导函数fx在3x处有极大值【答案】BD【分析】根据导函数的图象、极值点、极值的知识求得正确答案.【详解】A选项,fx在1xx左右两侧的0fx,所以1x不是fx的极值点,A选项错误.B选项,fx在2xx左右两侧,左侧0fx,右侧()0fx¢,所以函数fx在2x处有极小值,B选项正确.C选项,根据图象可知,fx有3个极值点,0x左右两侧的()0fx¢,所以0x不是fx的极值点,C选项错误.D选项,fx的图象在3xx左右两侧,左侧单调递增,右侧单调递减,所以fx在3x处有极大值,D选项正确.故选:BD例2.(2023·全国·高三专题练习)若函数fx存在一个极大值1fx与一个极小值2fx满足21fxfx,则fx至少有()个单调区间.A.3B.4C.5D.6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数fx存在一个极大值1fx与一个极小值2fx,则fx至少有3个单调区间,若fx有3个单调区间,不妨设fx的定义域为,ab,若12axxb,其中a可以为,b可以为,则fx在12,,,axxb上单调递增,在12,xx上单调递减,(若fx定义域为,ab内不连续不影响总体单调性),故21fxfx,不合题意,若21axxb,则fx在21,,,axxb上单调递减,在21,xx上单调递增,有21fxfx,不合题意;若fx有4个单调区间,例如1fxxx的定义域为|0xx,则221xfxx,令()0fx¢,解得1x或1x,则fx在,1,1,上单调递增,在1,0,0,1上单调递减,故函数fx存在一个极大值12f与一个极小值12f,且11ff,满足题意,此时fx有4个单调区间,综上所述:fx至少有4个单调区间.故选:B.练习1.(2023春·北京大兴·高三校考阶段练习)若fx是0,3上的连续可导函数,20f,且1,2x时,0fx,2,3x时,()0fx¢,则2x是fx的()A.极大值点B.极小值点C.最大值点D.最小值点【答案】B【分析】根据极值点的定义,结合条件,即可判断选项.【详解】由条件可知,fx是0,3上的连续可导函数,20f,当1,2x时,0fx,函数fx单调递减,当2,3x时,()0fx¢,函数fx单调递增,根据极值点的定义,可知,2x是fx的极小值点,但不一定是函数在0,3上的最小值点.故选:B练习2.(2023春·河南洛阳·高三校考阶段练习)对于定义在R上的可导函数()fx,()fx为其导函数,下列说法正确的是()A.使()0fx的x一定是函数的极值点B.()fx在R上单调递增是()0fx在R上恒成立的充要条件C.若函数()fx既有极小值又有极大值,则其极小值一定不会比它的极大值大D.若()fx在R上存在极值,则它在R一定不单调【答案】D【分析】ABC均可以举出反练习,D可以通过极值点和极值的定义进行判断.【详解】A选项,()0fx的x不一定是函数的极值点,比如3fxx在0x处导函数的值为0,但0x不是3fxx的极值点,A说法错误;()fx在R上单调递增,可能会在某点导函数等于0,比如3fxx为单调递增函数,3fxx在0x处导函数值为0,故()fx在R上单调递增不是()0fx在R上恒成立的充要条件,B说法错误;若函数()fx既有极小值又有极大值,则其极小值可能会比它的极大值大,比如1fxxx,在=1x处取得极大值2,在1x处取得极小值2,极小值大于极大值,故C说法错误;根据极值点和极值的定义可以判断,若()fx在R上存在极值,则它在R一定不单调,D说法正确.故选:D练习3.(2023春·河北石家庄·高三校联考期中)已知函数()fx的导函数为()fx,函数()yxfx的图象如图所示,则()fx在x________处取得极大值,在x________处取得极小值.【答案】55【分析】结合图象说明当5x或5x时,0fx,当5x0或05x时,()0fx¢,且550ff,由此确定函数的极值点.【详解】由图象可得当5x时,0xfx,所以0fx,当5x0时,0xfx,所以()0fx¢,当05x时,0xfx,所以()0fx¢,当5x时,0xfx,所以0fx,又550f,550f,所以550ff,所以5x时函数取极小值,当5x时函数取极大值.故答案为:5;5.练习4.(2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中)若函数yfx的定义域为R且可导,则“yfx在2x处的导数为0”是“当2x时,yfx取到极值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先验证充分性,不妨设3()2fxx,在2x处有(0)0f,但()fx为单调递增函数,2x不是极值点;再验证必要性,即可得结果.【详解】充分性:不妨设3()2fxx,则2()32fxx,在2x处有(2)0f,但是()0fx,()fx为单调递增函数,故2x不是极值点,故充分性不成立;必要性:由当2x时,yfx取到极值,得(2)0f,即yfx在2x处的导数为0,故必要性成立.所以“yfx在2x处的导数为0”是“当2x时,yfx取到极值”的必要不充分条件.故选:B练习5.(2023·新疆喀什·校考模拟预测)以函数2cos0yx的图象上相邻四个极值点为顶点的四边形对角线互相垂直,则______.【答案】34/34【分析】作出函数2cos0yx的图象,取点0,2A、π,2B、3π,2C、2π,2D,可知四边形ABCD为菱形,可得出ABAD,可得出关于的等式,即可解得的值.【详解】作出函数2cos0yx的图象如下图所示:函数2cos0yx的最小正周期为2πT,不妨取点0,2A、π,2B、3π,2C、2π,2D,则//ADBC且2πADBC,又因为ACBD,则四边形ABCD为菱形,所以,ABAD,即22π2π4,解得3π4.故答案为:3π4.题型二最值与极值的辨析例3.(2023·高三校考课时练习)下列有关函数的极值与最值的命题中,为真命题的是().A.函数的最大值一定不是这个函数的极大值B.函数的极大值可以小于这个函数的极小值C.函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值D.函数在开区间上不存在极大值和最大值【答案】B【分析】设2()fxx,(1,1)x,求出其最大值和极大值可判断A和D;若函数()fx在[1,2]上单调递增,在(2,3)上单调递减,在(3,4)上单调递增,在(4,5)上单调递减时,在(5,6)上单调递增时,可以出现极大值小于这个函数的极小值,说明B正确;根据极小值一定不是端点值,最小值可能是端点值,可判断C.【详解】对于A,设2()fxx,(1,1)x,()2fxx,当10x时,()0fx,当01x时,()0fx,所以函数()fx在(1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,所以函数()fx在0x时取得极大值(0)f,也是最大值,故A不正确;对于B,若函数()fx在[1,2]上单调递增,在(2,3)上单调递减,在(3,4)上单调递增,在(4,5)上单调递减时,在(5,6)上单调递增,此时函数()fx在2x时取得极大值(2)f,在5x时取得极小值(5)f,这里(2)f可以小于(5)f,故B正确;对于C,函数在某一闭区间上的最小值可能是端点值,而极小值一定不是端点值,故C不正确;对于D,由A可知,函数2()fxx在开区间(1,1)上存在极大值和最大值.故D不正确;故选:B例4.(2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中)定义在R上的可导函数yfx的导函数的图象如图所示,则以下结论正确的是()A.3是函数fx的一个零点B.2是函数fx的极大值点C.fx的单调递增区间是3,D.fx无最小值【答案】C【分析】由图象可得出函数的单调区间,进而得出函数的极值点、最值点,即可得出答案.【详解】对于A项,由已知图象,仅可得出函数的单调性以及极值点,并不能得出函数的值,故A项错误;对于B项,由已知图象可知,当,3x时,0fx,所以fx在,3上单调递减;当3,x时,0fx恒成立,所以fx在3,上单调递增,所以3是fx的极小值点,无极大值点,故B项错误;对于C项,由B可知,fx在3,上单调递增,故C正确;对于D项,由B可知,fx在3x处取得唯一极小值,也是最小值,所以D错误.故选:C.练习6.(2022秋·江西南昌·高三校联考期末)设()fx是区间[,]ab上的连续函数,且在(,)ab内可导,则下列结论中正确的是()A.()fx的极值点一定是最值点B.()fx的最值点一定是极值点C.()fx在区间[,]ab上可能没有极值点D.()fx在区间[,]ab上可能没有最值点【答案】C【解析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断.【详解】根据函数的极值与最值的概念知,()fx的极值点不一定是最值点,()fx的最值点不一定是极值点.可能是区间的端点,连续可导函数在闭区间上一定有最值,所以选项A,B,D都不正确,若函数()fx在区间[,]ab上单调,则函数()fx在区间[,]ab上没有极值点,所以C正确.故选:C.【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析,属于容易题.练习7.(2023春·河北邯郸·高三武安市第三中学校考阶段练习)函数图象连续的函数yfx在区间,ab上()A.一定存在极小值B.一定存在极大值C.一定存在最大值D.极小值一定比极大值小【答案】C【分析】根据函数最值和极值的定义即可得解.【详解】由函数的最值与极值的概念可知yfx在,ab上一定存在最大值.故选:C.练习8.(2023·全国·高三专题练习)定义在闭区间,ab上的连续函数yfx有唯一的极值点0xx,且0=yfx极小值,则下列说法正确的是A.函数fx的最大值也可能是0fxB.函数fx有最小值,但不一定是0fxC.函数fx有最小值0fxD.函数fx不一定有最小值【答案】C【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解.【详解】∵定义在闭区间,ab上的连续函数yfx有唯一的极值点0xx,且0=yfx极小值,∴函数()fx在区间0[,)ax上单调递减,