专题4.8 导数中的零点问题（原卷版）

专题4.8导数中的零点问题题型一讨论零点的个数题型二已知零点个数求参数题型三存在零点求参数题型四证明零点个数题型五隐零点题型一讨论零点的个数例1．（2023春·安徽六安·高二六安二中校联考期中）已知exfxxaxa，xR，a是参数，则下列结论正确的是（）A．若fx有两个极值点，则2aB．fx至多2个零点C．若2a，则fx的零点之和为0D．fx无最大值和最小值例2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数221exfxxxmx，231e2xgxxxmx，m∈R．(1)设fx的导函数为fx，试讨论fx的零点个数；(2)设11ln1mhxmxxmx，2hxfxgx当1,x时，若21hxhx恒成立，求实数m的取值范围．练习1．（2023春·甘肃武威·高三武威第六中学校考期中）已知函数()(2)exfxx．(1)求函数()fx的单调区间和极值：(2)若()()gxfxa，讨论函数()gx的零点个数．练习2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知esinxfxxx.(1)若22π0e2xxfxgxx，证明：gx存在唯一零点；(2)当,πx时，讨论fx零点个数.练习3．（2023春·河南郑州·高三河南省实验中学校考期中）已知函数e1xfxax．(1)若0x时，0fx恒成立，求a的取值范围；(2)记212gxx，讨论函数fx与gx的交点个数．练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()sinexxfxax的图象在点0,0f处的切线与y轴垂直．(1)求实数a的值．(2)讨论fx在区间π,π上的零点个数．练习5．（2023春·北京海淀·高三北京交通大学附属中学校考期中）已知函数2()1fxx与函数()ln(0)gxaxa．(1)若()fx，()gx的图像在点(1,0)处有公共的切线，求实数a的值；(2)设()()2()Fxfxgx．①求函数()Fx的极值；②试判断函数()Fx零点的个数．题型二已知零点个数求参数例3．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数3fxx.(1)若点1,1在曲线253hxbfxcx上，且点1,1是函数hx图象的对称中心，求过点,cb的hx的切线方程；(2)若(0xfxaa，且1)a有三个不同的零点123,,xxx，且1230xxx，求a的取值范围.例4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数22()ln(R)2xaxafxxax．(1)讨论函数()fx的单调性；(2)若函数()fx有两个零点，求a的最大整数值．练习6．（2023春·四川乐山·高三四川省峨眉第二中学校校考期中）若函数ln2kxx有两个实根，则k的取值范围是______．练习7．（2023·河南·模拟预测）若函数22lnfxxax在2,e上存在两个零点，则a的取值范围是（）A．ln21,2eB．221,eeC．22ln2,,e2D．211,ee练习8．（2023春·山东青岛·高三青岛市即墨区第一中学统考期中）若2ln2exfxaax，（0a1）有两个不相等零点12,xx，则a的范围是______．练习9．（2023·河南郑州·模拟预测）已知函数lnfxxxaaxaR．(1)若a＝1，求函数fx的极值；(2)若函数fx在区间1,e上有且只有一个零点，求实数a的范围．练习10．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数22132ln2fxxaxax，0a.(1)讨论fx的单调区间；(2)若fx有3个零点，求a的取值范围.题型三存在零点求参数例5．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数21()3ln,()212fxxgxxx．(1)求函数()()()xgxfx的单调区间；(2)若()()(),3ahxfxgxaR，求证：函数()yhx存在零点．例6．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知0，若关于x的方程1eln0xxxx存在正零点，则实数的值可能为（）A．1eB．12C．eD．2练习11．（2023春·天津滨海新·高三校考期中）设函数2ln2exfxxxax（其中e为自然对数的底数），若函数fx至少存在一个零点，则实数a的取值范围是__________．练习12．（2023春·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考期中）若函数24xxfxm在区间1,1上存在零点，则实数m的取值范围是___________.练习13．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数12exfxax，aR.(1)若fx的图象在1x处的切线与直线123yx垂直，求a的值及切线方程；(2)若0a，函数lngxfxaxax在其定义域上存在零点，求实数a的取值范围.练习14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()lne1xfxkx是偶函数．(1)求实数k的值．(2)当0x时，函数()()gxfxxa存在零点，求实数a的取值范围．(3)函数e()lne22xxhxmm（0m且1m），函数()()()Fxfxhx有2个零点，求实数m的取值范围．练习15．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数22()23ln(3)22xaxaxfxxx存在零点，则实数a的值为（）A．3-B．2C．1D．2题型四证明零点个数例7．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数3222fxxxx．(1)过点0,6P作曲线yfx的切线，求切线的方程；(2)当3k时，证明：曲线yfx的图象与直线6ykx的图象仅有一个交点．例8．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知函数()2ln(1)exfxaxx，其中a为非零常数．(1)讨论()fx的极值点个数，并说明理由；(2)若2ae，证明：()fx在区间(1,)内有且仅有1个零点．练习16．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）（多选）已知函数21e2xfxx，下列说法正确的是（）A．fx在0x处的切线方程为10xyB．3ln222fC．若函数gx的图象与fx的图象关于坐标原点对称，则21e2xgxxD．fx有唯一零点练习17．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数ln1fxxaxa，²exgxx，且曲线yfx在点,xfx处的切线斜率均不小于2．(1)求a的值；(2)求证：函数hxfxgx在区间1,2内存在唯一的零点．练习18．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数()2sinfxxx，0,2x.(1)若函数()()sin2gxfxxx，求()gx的最小值；(2)证明：函数()fx在0,2上有唯一零点.练习19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）已知函数sinRexxaxfxa在πx处的切线方程为2π2eππ0xxy．(1)若a；(2)证明212egxfx有两个零点．练习20．（2023春·北京海淀·高三101中学校考期中）已知函数2ln21fxaxxax，其中0a．(1)当1a时，求函数fx的极小值；(2)求函数fx的单调区间；(3)证明：当10,2a时，函数fx有且仅有一个零点．题型五隐零点例9．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）函数esin1xfxxx在区间π,上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4例10．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）设函数yfx在区间D上的导函数为fx，且fx在D上存在导函数fx（其中fxfx）．定义：若区间D上0fx恒成立，则称函数fx在区间D上为凸函数．已知函数cosfxaxxb的图像过点0,1A，且在点ππ,22Bf处的切线斜率为π．(1)判断fx在区间π0,2上是否为凸函数，说明理由；(2)求证：当π0,2x时，函数fx有两个不同的零点．练习21．（2023春·山东日照·高三统考期中）设函数2eln1xfxax.(1)讨论fx的导函数fx的零点的个数；(2)证明：当0a时，2lnfxaa.练习22．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）已知函数()elnxfxx，其中e2.71828.(1)求曲线()yfx在1,1f处的切线方程；(2)证明：5(1)34fx.练习23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数lnfxxax.(1)求函数fx的极值点；(2)若函数fx的图象与1gxx的图象有3个不同的交点，试求a的取值范围.练习24．（2022春·浙江·高三统考学业考试）已知函数20xafxaxxx，其中1a.(1)若24f，求实数a的取值范围；(2)证明：函数fx存在唯一零点；(3)设00fx，证明：22021222aafxaa.练习25．（2023春·江苏无锡·高三江阴市华士高级中学校联考期中）已知函数()lnfxaxx，aR.(1)讨论函数fx的单调性；(2)若e11xxafx恒成立，求实数a的取值范围.