专题4.9 导数综合练（解析版）

专题4.9导数综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数22lnxyxx的单调递增区间为（）A．(0,2)B．(0,1)C．(2,)D．(1,)【答案】D【分析】求导，求出不等式0y的解集即可.【详解】函数的定义域为(0,).222lnlnxyxxxxx，则2222212(2)(1)1xxxxyxxxx.令00yx，解得(1,)x.故选：D2．（2023春·北京昌平·高三北京市昌平区前锋学校校考期中）函数cosxfxx的导数fx（）A．2sincosxxxxB．2sincosxxxxC．2sincosxxxxD．2sincosxxxx【答案】B【分析】根据导数公式可得.【详解】由cosxfxx知22coscossincosxxxxxxxfxxx故选：B3．（2023春·吉林·高三校联考期中）曲线2eaxy在点0,1处的切线垂直于直线20xy，则a（）A．1B．1C．14D．14【答案】D【分析】求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可得关于a的方程，解出a后可得正确的选项.【详解】22eaxya，所以0|2xya，因为在点0,1处的切线垂直于直线20xy，故切线的斜率为12，故122a即14a，故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）已知fx的定义域为0,，fx为fx的导函数，且满足fxxfx，则不等式111fxxfx的解集是（）A．0,4B．1,4C．1,D．4,【答案】D【分析】构造函数gxxfx，结合题意可得0gx，进而得到0x时，函数gx单调递减，转化111fxxfx为11gxgx，结合单调性即可求解.【详解】设gxxfx，则0gxxfxxfxfx，即当0x时，函数gx单调递减，由111fxxfx，所以1111xfxxfx，即11gxgx，所以111010xxxx，解得4x，则不等式的解集为4,.故选：D.5．（2023春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）设ln2fxaxx有三个不同的零点，则a的取值范围是（）A．0,eB．20,eC．310,eD．210,e【答案】C【分析】由ln2fxaxx有三个不同的零点，可得2|ln|axx有三个不同的零点，构造函数|ln|yx和2yax，画出函数图像，利用导数求解切线方程，进而可得切线斜率，结合图像关系即可求解．【详解】如图，由ln2fxaxx有三个不同的零点，可得2|ln|axx有三个不同的零点，画出函数|ln|yx的图像，直线2yax过定点(0,2)，当1x时，设过(0,2)的直线与lnyx的切点为00(,ln)xx，由lnyx，得1yx，所以001|xxyx，故切线方程为0001ln()yxxxx，把定点(0,2)代入得：02ln1x，即30ex，所以031|exxy，即直线2yax的斜率为31ea，由图知，当310ea时，2yax与|ln|yx有三个交点，所以使()|ln|2fxaxx有三个不同的零点的a的取值范围是310,e.故选：C.6．（2023春·广东茂名·高三广东高州中学校考期中）设函数23()ln2fxxaxx，若1x是函数()fx的极大值点，则函数()fx的极小值为（）A．ln22B．ln21C．ln23D．ln22【答案】D【分析】由题意可得()01f，求出a的值，即可求出()fx，再对()fx求导，得到()fx单调性，即可求出答案.【详解】由23ln2fxxaxx，得13()22fxaxx，又1x是函数的极大值点，1(1)202fa，14a，则23()ln42xfxxx，1213(0)222xxxfxxxx，令()0fx，得1x或2x，令()0fx，解得2x或01x；令()0fx，解得12x，所以()fx在0,1,2,上单调递增，在1,2上单调递减，则当2x时，()fx的极小值为ln22.故选：D.7．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考期中）已知函数2exfx，1ln2gxx分别与直线ya交于点A，B，则AB的最小值为（）A．11ln22B．11ln22C．12ln22D．12ln22【答案】B【分析】依题意，表示出,AB两点坐标和||AB，构造函数，利用导数研究单调区间和最值.【详解】由题意，1ln,2Aaa，12e,aaB，其中121eln2aa，且0a，所以121eln2aABa，令121()eln2xhxx，(0)x，则121e02xhxx时，解得12x，所以102x时，0hx；12x时，0hx；则()hx在10,2上单调递减，在1,2上单调递增，所以当12x时，min2ln2ln2122AB，故选：B．8．（2023春·广东珠海·高三珠海市斗门区第一中学校考期中）设函数()fx的导数为()fx，且2()2(1)fxxxf，则(1)f（）A．23B．23C．2D．2【答案】B【分析】可先求函数的导数，令1x求出1f即可.【详解】由221221fxxxffxxf，令1x得(1)212(1)ff，解得213f.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考阶段练习）已知函数()fx的定义域为(0,)，导函数为()fx，满足()()(1)exxfxfxx，（e为自然对数的底数），且(1)0f，则（）A．3(2)2(3)ffB．(1)(2)(e)fffC．()fx在2x处取得极小值D．()fx无最大值【答案】AD【分析】由题意，构造函数，利用导数可得新函数的单调性，解得函数fx的解析式，根据导数求得该函数的单调性，可得答案.【详解】解：设()()(0)fxgxxx，则22()()(1)ee()xxxfxfxxgxxxx，可设e()xgxcx，则(1)e0gc，解得ec，故e()exgxx，即()xfxeex，令()0gx，则1x，故()gx在(1,)上单调递增，∴(2)(3)gg，即(2)(3)23ff，则3(2)2(3)ff，A正确；∵()xfxee，令()ee0xfx，解得1x，则()fx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，∴(1)(2)(e)fff，()fx在1x处取得极小值，无最大值，B、C均错误，D正确．故选：AD.10．（2023春·甘肃金昌·高三永昌县第一高级中学校考期中）下列结论中，正确的是（）A．ππcossin33B．sin22cos2xxC．2cossincosxxxxxxD．51logln5xx【答案】BD【分析】利用基本初等函数求导公式，复合函数求导公式以及导数的运算法则的进行求导，逐项分析即可.【详解】对于A，常数πcos3的导数等于0，故A错误；对于B，令sin2yx，2ux，则sinyu，sin22cos2xuxyyuuxx，故B正确；对于C，22coscoscossincosxxxxxxxxxxx，故C错误；对于D，利用公式1log0,1lnaxaaxa，故D正确.故选：BD.11．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知直线l与曲线2()lnfxxx相切，则下列直线中可能与l垂直的是（）A．04yxB．250xyC．230xyD．20xy【答案】AB【分析】求导，利用基本不等式可得导数范围，然后可得垂线斜率范围，进而可得答案.【详解】()fx的定义域为0,，1()222fxxx，即直线l的斜率22k，设与l垂直的直线的斜率为m，则1km，所以122m，204m．故选：AB．12．（2023春·湖北·高三宜昌市三峡高级中学校联考期中）已知函数32fxxx，则（）A．函数fx在R上单调递增B．fx有三个零点C．fx有两个极值点D．直线2yx是曲线yfx的切线【答案】CD【分析】利用导数研究函数单调性和极值，通过极值判断函数零点个数，通过导数的几何意义求已知斜率的切线方程.【详解】函数32fxxx，定义域为R，231fxx，()0fx¢，解得33x或33x；0fx，解得3333x，fx在3,3和3,+3上单调递增，在33,33上单调递减，极大值为3232+39f，极小值为3232039f，240f，3232039f，函数图像如图所示，则函数fx的图像与x轴只有一个交点，即fx只有一个零点，所以AB选项错误，C选项正确；曲线yfx切线的切点坐标为00,xfx，当切线斜率为2时，200312fxx，解得01x，当01x时，切点坐标为1,2，切线方程为221yx，即2yx，D选项正确.故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（2023春·广东江门·高三新会陈经纶中学校考期中）已知函数2()ln(1)fxaxx，在区间(2,3)内任取两个实数12,xx，且12xx，若不等式1212()()1fxfxxx恒成立，则实数a的取值范围为_______．【答案】9,【分析】根据题意得函数2()()ln(1)gxfxxaxxx在区间(2,3)内单调递增，利用导函数与单调性的关系即可得(21)(1)axx恒成立，即可求解.【详解】不妨设12xx，则由1212()()1fxfxxx，可得1212()()fxfxxx，即1122()()fxxfxx，设2()()ln(1)gxfxxaxxx，则()gx在区间(2,3)内单调递增，()211agxxx，则()2101agxxx在区间(2,3)内恒成立，即(21)(1)axx，也即221axx，因为二次函数221yxx在(2,3)单调递减，所以222219y，所以9a，故答案为:9,.14．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考期中）函数yfx的导函数yfx的图像如图所示，以下结论正确的序号是______．（1）3是函数yfx的极值点；（2）1是函数yfx的极小值点（3）