专题5.3 三角函数的图象与性质（解析版）

专题5.3三角函数的图象与性质题型一三角函数的值域题型二求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性题型三解三角不等式题型四由三角函数的值域（最值）求参数题型五根据单调求参数题型六根据对称求参数题型七由图象确定三角函数解析式题型八描述三角函数的变换过程题型九求图象变换前（后）的函数解析式题型一三角函数的值域例1．（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考期中）求2()2cos2sin3Rfxxxx（）的最小值是_____【答案】12/0.5【分析】先应用换元法sintx,22sin2sin1,yxx再应用二次函数最值求解即得.【详解】222()2cos2sin321sin2sin32sin2sin1fxxxxxxx,令22sin2sin1,sinyxxtx,2221,1,1yttt,当2142t,min111221422y.故答案为:12例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数1πsin223fxx，ππ,44x，则函数fx的值域为______．【答案】11,24【分析】根据x的范围，得π23x的范围，数形结合可得πsin23x的范围，从而可得函数fx的值域.【详解】当ππ,44x时，π5ππ2,366x，则π1sin21,32x，所以1π11sin2,2324x，所以函数fx的值域为11,24.故答案为：11,24练习1．（2023春·北京·高一清华附中校考期中）当0,2x时，14sinsinfxxx的最小值为（）A．5B．4C．2D．1【答案】B【分析】令sintx，由π0,2x，可得0,1t，利用基本不等式求解即可.【详解】令sintx，由π0,2x，可得0,1t，所以114244fttttt，当且仅当14tt时，即1π,26tx时取等.故选：B.练习2．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）函数π()cos(sin3cos),[0,]4fxxxxx的最大值与最小值的和为（）A．132B．3232C．3332D．3【答案】B【分析】化简fx，得π3sin232fxx，再利用正弦函数的性质可求得最大值和最小值，从而可解.【详解】2()cos(sin3cos)cossin3cosfxxxxxx133π3sin2cos2sin222232xxx因为π[0,]4x，所以ππ5π2[,]336x，所以1πsin2123x，即13π33sin2122322x，所以当π5π236x，即π4x时，min13()22fx，当ππ232x，即π12x时，max3()12fx，所以minmax133323()()12222fxfx.故选：B练习3．（2022·高三课时练习）函数y＝tan(π－x)，x∈(,)43的值域为________．【答案】31-，【分析】根据诱导公式，结合正切函数的单调性进行求解即可.【详解】y＝tan(π－x)＝－tanx，在(,)43上为减函数，所以值域为(－3，1)．故答案为：(－3，1).练习4．（2023·全国·高三专题练习）函数sin2sin1cosxxfxx的值域__________．【答案】14,2【分析】运用二倍角公式及平方关系统一函数名称与角度，再配方可求解．【详解】因为222221coscossin2sin2sincos11=2cos2cos2cos1cos1cos1cos22xxxxxxfxxxxxxx，因为1cos1x，当1cos2x时，fx取得最大值12，当cos1x时，fx取得最小值4，又因为1cos0x，所以fx的值域为14,2．故答案为：14,2.练习5．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知23sin8cos2xfxx，若fxf恒成立，则sin（）A．35B．35-C．45D．45【答案】A【分析】若fxf恒成立，即maxffx，由余弦的二倍角公式和辅助角公式化简fx，求出maxfx，此时sin1，则π2π2k，由诱导公式即可得出答案.【详解】21cos3sin8cos3sin83sin4cos45sin422xxfxxxxxx，其中4tan3，3cos5，所以当sin1x时，max1fx.若fxf恒成立，则max1ffx，此时sin1，则π2π2k，即π2π2k，π3sinsin2πcos25k.故选：A.题型二求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性例3．（2023春·北京·高三北京一七一中校考期中）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．sin2cos2yxxB．sincosyxxC．πsin22yxD．πcos22yx【答案】D【分析】利用辅助角公式、诱导公式化简解析式，再求出正余弦函数的周期，最后判断函数的奇偶性，即可得出答案..【详解】因为sin2cos2yxxπ2sin24x，函数的周期为π，因为π31π31=,=3232yy，所以是非奇非偶函数，A不正确；因为sincosyxxπ2sin4x，函数的周期为2π，B不正确；因为πsin22yxcos2x，函数的周期为π，是偶函数，C不正确；因为πcos22yxsin2x，函数的周期为π，是奇函数，D正确；故选：D例4．（2023春·海南海口·高三海口一中校考期中）（多选）已知函数π2sin26fxx则（）A．函数fx的最小正周期为2πB．函数fx的图像关于直线π6x对称C．函数fx为偶函数D．函数fx的图像向左平移个单位后关于y轴对称，则可以为5π6【答案】BD【分析】利用最小正周期公式判断A，利用代入检验法判断B，根据偶函数的定义判断C，根据函数图象变换结论及诱导公式判断D.【详解】对选项A：因为π2sin26fxx，所以()fx的最小正周期为2ππ2T，错误；对选项B：当πx6时，πππ2sin22sin2662fx，所以πx6是fx的一条对称轴，正确；对选项C：易知函数fx的定义域为R，又πππ2sin22sin22sin2666fxxxxfx，所以函数fx不是偶函数，错误；对选项D：函数fx的图像向左平移个单位后得到ππ2sin[2()]2sin(22)66gxxx，由题意，函数π2sin(22)6gxx的图像关于y轴对称，所以ππ2π,Z62kk，即ππ,Z23kk，当1k时，ππ5π236，即函数fx的图像向左平移个单位后关于y轴对称，则可以为5π6，D正确.故选：BD练习6．（2023春·全国·高三专题练习）（多选）若函数44()sincosfxxx，则（）A．函数()fx的一条对称轴为π4xB．函数()fx的一个对称中心为π,04C．函数()fx的最小正周期为π2D．若函数3()8()4gxfx，则()gx的最大值为2【答案】ACD【分析】根据三角函数的同角关系和二倍角的正、余弦公式化简可得13()cos444fxx，结合余弦函数的性质依次判断选项即可.【详解】由题意得，24422222113()sincossincossincos1sincos424422fxxxxxxxxx.A：当π4x时，1π31cos44442fx，又min1()2fx，所以π4x是函数()fx的一条对称轴，故A正确；B：由选项A分析可知π142f，所以点π,04不是函数()fx的对称点，故B错误；C：由2ππ42T，知函数()fx的最小正周期为π2，故C正确；D：3()8()2cos44gxfxx，所以max()2gx，故D正确.故选：ACD．练习7．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）（多选）函数π2sin2fxx，则以下结论中正确．．的是（）A．fx在π0,2上单调递减B．直线π6x为fx图象的一条对称轴C．fx的最小正周期为2πD．fx在π0,2上的值域是1,3【答案】AC【分析】化简得到2cosfxx，再根据三角函数的单调性，对称轴和周期值域依次判断每个选项得到答案.【详解】π2sin22cosxfxx，对选项A：fx在π0,2上单调递减，正确；对选项B：π6x不是fx图像的对称轴，错误；对选项C：fx的最小正周期为2πT，正确；对选项D：π0,2x，则cos0,1x，2cos0,2xfx，错误.故选：AC练习8．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）已知函数π()cos25xfx，则（）A．()fx的图象关于2π,05对称B．()fx的图象关于直线8π5x对称C．3π5fx为奇函数D．()fx为偶函数【答案】BC【分析】利用余弦型函数的图象及其性质，逐一分析选项即可．【详解】因为π()cos25xfx，2πππcos10555f，A错误；8π4ππcos1555f，B正确；3π13πππcoscossin5255222xxfxx，所以()fx是奇函数，C正确；易知()()fxfx，所以()fx不是偶函数，D错误．故选：BC练习9．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数cosπ6fxx在π,π的图象如图所示．则（1）fx的最小正周期为__________；（2）距离y轴最近的对称轴方程__________．【答案】4π3π9x【分析】根据图象过点可得39Z22kk，，再由图象分析周期范围可得范围，据此求周期，得出函数解析式，求对称轴即可.【详解】由函数图象知，4π4ππ()cos0996f，所以根据五点法作图可得4πππ2π962k，Zk，解得39Z22kk，，又由函数图象得2π2TT，即2π2π2π2||||，解得1||2，所以0k时，32，故2π2π4π3||3||2T，故3π()cos()26fxx，由3ππ,Z26xkk，解得2ππ,Z39xkk，当0k时，π9x满足条件.故答案为：4π3，π9x练习10．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数cossinfxx