专题6.2 数量积及最值（范围）问题（解析版）

专题6.2数量积及最值（范围）问题题型一求数量积题型二求两个向量的夹角题型三求投影向量题型四垂直关系的判断及应用题型五向量的模题型六数量积的最值、范围问题（基底法）题型七数量积的最值、范围问题（坐标法）题型八数量积的最值、范围问题（数形结合法）题型一求数量积例1．（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量1,2ar，3,4b，5,cm（Rm），则2abc（）A．5B．5C．5mD．5m【答案】B【分析】求出向量2ab的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案.【详解】由题意向量1,2ar，3,4b，5,cm可得2(1,0)ab，故2(1,0)(5,)5abcm，故选：B例2．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知单位向量a，b满足122abab，则ab_______．【答案】12/0.5【分析】根据向量的运算法则和数量积的运算公式，准确运算，即可求解.【详解】因为22221222212ababababababab，所以12ab．故答案为：12.练习1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知向量2,1a，1,2b则ab______．【答案】4【分析】利用数量积的坐标运算法则计算可得.【详解】因为2,1a，1,2b，所以21124ab．故答案为：4．练习2．（2023·全国·高三专题练习）矩形ABCD中．||6AB，||4AD．若点M，N满足3BMMC，2DNNC，则AMNM（）A．20B．15C．9D．6【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量数量积公式求出答案.【详解】四边形ABCD为矩形，建立如图所示，平面直角坐标系，(0,0)A，(6,3)M，(4,4)N，(6,3)AM，(2,1)NM，62319AMNM．故选：C．练习3．（2023春·山西大同·高二校考阶段练习）已知O是ABC的外心，4AB=uuur，2AC，则AOABAC（）A．10B．9C．8D．6【答案】A【分析】根据三角形外心的性质，结合数量积的几何意义以及数量积运算律，即可求得答案.【详解】如图，O为ABC的外心，设,DE为,ABAC的中点，则,ODABOEAC,故AOABACAOABAOAC||||cos|||co|sAOABAOACOADOAE||||||||ADABAEAC2222111||41||2222210ABAC,故选：A练习4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形EFGH中，2EFEH，则HGFH__________.【答案】2【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.【详解】设EG与FH交于O，则EGFH且O是线段FH的中点，||||2HFEFEH，由平面向量数量积的几何意义知，2122cosHHFHGGFHHGHFGHFHFHOHF.故答案为：2练习5．（2023·广东汕头·统考三模）在ABC中，2AB，1AC，60BAC，12CDBC，求ADCD_________.【答案】34/0.75【分析】根据已知条件得出132ADACAB,12CDBC,化简ADCD应用数量积公式计算求解即得.【详解】2AB，1AC，60BAC，1cos211,2ABACABACBAC22222224,11.ABABACAC1122CDBCADACACAB,123ADACAB,22221411133334411414434ADCDACABBCACABACABACABACAB.故答案为：34题型二求两个向量的夹角例3．（2023春·广东深圳·高一深圳市建文外国语学校校考期中）已知平面向量3,4,9,,4,abxcy且//,abac(1)求向量b与向量c的坐标；(2)若向量2,mabnac，求向量m与向量n的夹角【答案】(1)(9,12)b，(4,3)c(2)3π4【分析】（1）根据已知条件，结合向量平行和垂直的性质，求解b，c可求解；（2）根据已知条件，结合向量的夹角公式，即可求解．【详解】（1）//ab，394x，解得12x，ac，3440y，解得=3y，(9,12)b，(4,3)c；（2）由（1）可得，2(6mab,8)(9,12)(3,4)，(3nac,4)(4,3)(7,1)，设向量m，n的夹角为，则252cos2552mnmn，[0,]，3π4，故向量m，n的夹角为3π4．例4．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知a，b是单位向量，且13,22ab，则向量a与ba的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【答案】D【分析】由13,22ab，得21ab，从而可求得ab，再根据cos,aaabababa即可得解.【详解】由13,22ab，得21ab，即222221ababab，所以12ab，则22221113babababa，213122abbaaa，则32cos,233bababaaaa，又0,πaab，所以5π,6baa，即向量a与ba的夹角为5π6.故选：D.练习6．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知向量,1am，1,2b，2,3c.(1)若ab与c垂直，求实数m的值；(2)求cos,bc的值.【答案】(1)12(2)46565【分析】（1）确定1,1abm，再根据向量垂直解得答案.（2）直接根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）1,1abm，且ab与c垂直，故2130abcm，解得12m.（2）26465cos,65513bcbcbc?===-´.练习7．（2023·山东烟台·统考二模）已知向量(1,3),||2,|2|25abab，则a与b夹角的大小为_____________．【答案】π4【分析】根据题意可得2(2)20ab，结合平面向量数量积的定义计算即可求解.【详解】由(1,3)a，得2a，由225ab，得2(2)20ab，即224420aabb，得4422cos,4220ab，所以2cos,2ab，又,0,πab，所以π,4ab，即a与b的夹角为π4.故答案为：π4.练习8．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）已知2a，1b，a与b的夹角为45，求使向量2ab与3ab的夹角是锐角，则的取值范围___________.【答案】,32,【分析】两向量夹角为锐角，则其数量积大于零，且这两个向量不共线，由此计算即可.【详解】∵向量2ab与3ab的夹角是锐角，∴230abab且向量2ab与向量3ab不共线，由230abab得2222630aabb，∴22226cos4530aabb，∴22226213102，即260，解得3或2，若向量2ab与向量3ab共线，则23abtab，无解，∴向量2ab与向量3ab不共线，∴实数的取值范围是,32,.故答案为：,32,.练习9．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知单位向量a，b满足3aab，则a，b夹角的余弦值为__________.【答案】33/133【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示，结合数量积运算律求出ab，即可求出夹角的余弦值.【详解】单位向量a，b满足(3)aab，则2(3)30aabaab，因此21333aba，所以a，b夹角的余弦值为3cos,3||||ababab.故答案为：33练习10．（2023春·浙江温州·高三乐清市知临中学校考期中）设2,0a，1,3b.(1)求,ab；(2)若,Rmxaybxy，且23m，m与b的夹角为π6，求x，y的值.【答案】(1)60(2)1x，1y或=1x，2y【分析】（1）根据向量夹角得坐标表示计算即可；（2）由模的向量坐标运算及夹角的向量坐标运算联立方程即可求解.【详解】（1）由2,0a，1,3b，得2a，2b，2ab，则1cos,2ababab，又0,180ab，所以,60ab；（2）因为2,0a，1,3b，所以2,3mxaybxyy，又23m，所以222312xyy，又π233cos62232mbxyymb，即23xy，由22231223xyyxy，解得11xy或12xy，∴1x，1y或=1x，2y.题型三求投影向量例5．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知2||1,||2,3abab，则向量a在向量b上的投影向量为___________.【答案】ˆ16b/6ˆb【分析】设,ab之间的夹角为，利用题意得到1||cos3a，2bbb，然后用投影向量公式进行求解即可【详解】设,ab之间的夹角为，2cos3abab，又1||2,||cos3ba，又2bbb，所以向量a在向量b方向上的投影向量为||cosbab16b.故答案为：16b.例6．（2023春·江苏泰州·高一江苏省口岸中学校考阶段练习）已知向量(1,1)a，(1,0)b，则a在b上的投影向量的模为（）A．2B．3C．1D．33【答案】C【分析】求出a在b上的投影向量的坐标，从而求出投影向量的模．【详解】∵(1,1)a，(1,0)b，∴1ab，||1b，∴a在b上的投影向量为(1,0)||||abbbb，则a在b上的投影向量的模为22101．故选：C．练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知向量a，b满足(2,4)a，5ab，则b在a上的投影向量c______.【答案】1,12【分析】根据b在a上的投影向量||cos||acba即可求解.【详解】设a与b的夹角为，b在a上的投影向量22225511||cos||||cos,1||||||(2)442aaaacbabaaaa.故答案为：1,12.练习12．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）若向量a，b满足4,3a，5,12b，则向量b在向量a上的投影向量为（）A．6448,6565B．6448,2525C．6448,2525D．6448,6565【答案】B【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量b在向量a上的投影向量.【详解】设向量a与b的夹角为，则4,35,1216cos,5,1351365ab