专题6.4 平面向量，复数综合练（解析版）

专题6.4平面向量，复数综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）若复数3i1i12i3a（Ra，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．2B．6C．4D．6【答案】D【分析】根据复数代数形式的运算法则化简，再根据复数的定义得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为3i12i3i63i1i1i1i12i312i12i353aaa63i1i553a266336363iiii515515515155aaaa，因为复数3i1i12i3a为纯虚数，所以630515630155aa，解得6a.故选：D2．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知向量(2,1)(1,1)ab，，向量a在b方向上的投影向量为（）A．22bB．22bC．12brD．12b【答案】D【分析】根据投影向量的定义即可求解.【详解】由题意知1cos,2abaabb，b的单位向量为22(,)22bb，所以向量a在b方向上的投影向量为122111(,)(,)222222b，故选：D.3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在ABC中，点D在BC的延长线上，3BDDC，如果ADxAByAC，那么（）A．13,22xyB．13,22xyC．13,22xyD．13,22xy【答案】B【分析】用向量的线性运算把向量AD分解成ADxAByAC形式即可得答案.【详解】∵3,2ADABBDBDBC，∴33132222ADABBCABACABABAC，故选：B．4．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知复数z满足i1i2z，则z（）A．1B．2C．3D．5【答案】D【分析】先利用题意算出12zi，然后利用复数模的公式即可求解【详解】由(i)(1i)2z可得22(1i)ii1ii12i1i(1i)(1i)z，所以22||125z故选：D5．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在等腰直角ABC中，斜边4BC，,MN为线段BC上的动点，且1MN，则AMAN的最小值为（）A．134B．154C．4D．6【答案】B【分析】设BMt，然后可得21364AMANABBMABBMBCtt，然后根据二次函数的知识可得答案.【详解】因为在等腰直角ABC中，斜边4BC，所以22ABAC，因为4BC、1MN，所以14MNBC，设BMt，则04t，221112444AMANABBMABBMBCABABBMBMABBCBMBC222121822222441362424ttttt所以当32t时，AMAN取得最小值154，故选：B6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）一条河两岸平行，河的宽度为1560m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度1v的大小为113km/hv，水流速度2v的大小为25km/hv，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间mint为（）A．7.2tB．7.8tC．120tD．130t【答案】B【分析】分析可知，船的实际速度12vvv与水流速度2v垂直，作出图形，求出vr的值，即可求得船所需的时间.【详解】若使得船的航程最短，则船的实际速度12vvv与水流速度2v垂直，作1OAv，2OBv，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，如下图所示：由题意可知，OCOB^，且113BCOAv，25OBv，由勾股定理可得2212vOCBCOB，因此，若船的航程最短，则行驶完全程需要的时间1.560.13h12t，则0.13607.8mint.故选：B.7．（2023·江苏南京·校考二模）已知等边ABC的边长为2，D为BC的中点，P为线段AD上一点，PEAC，垂足为E，当23PBPC时，PE（）A．1233ABACB．1136ABACC．1163ABACD．2133ABACuuuruuur【答案】B【分析】根据题意，先分别表示出PB，PC，再由向量的数量积运算得到PBPC，从而得到P为ABC的重心，即可得到结果.【详解】设(01)APAD，则PCACAPACAD，PBABAD，22()()PCPBACADABADACABACADABADAD22322232336223，291880，23或43（舍去），P为ABC的重心，PEAC，E为AC的中点，1212111()2323236PEAEAPACADACABACABAC，故选：B．8．（2023春·北京海淀·高三北大附中校考期中）设a，b是平面向量，则“0ab是“//ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据向量数量积的定义及共线的性质，结合充分必要性定义判断条件间的推出关系，即得答案.【详解】由||||cos,0ababab，即cos,0ab，故π,[0,)2ab，所以//ab不一定成立；由//ab（非零向量）时，若反向共线，则||||0abab，若同向共线，则||||0abab，所以0ab也不一定成立；综上，“0ab是“//ab”的既不充分也不必要条件.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（2023春·山西太原·高三统考期中）已知复数1z、2z，则下列结论正确的是（）A．1212zzzzB．若12zz，则12zzC．若120zz，则1z、2z中至少有1个是0D．若10z且2121zzz，则12zz【答案】ACD【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用虚数不能比较大小可判断B选项；利用复数的三角形式的代数运算结合反证法可判断C选项；利用复数的运算性质结合C选项可判断D选项.【详解】设111izab，2221212i,,,zabaabbR，对于A选项，1211221212iiizzababaabb，所以，222222222121211221212zzzzababaabb22221122121222ababaabb，因为222222222222222221122121212122112121212122ababaabbaaababbbaaaabbbb2222212121221122120abaabbababab，则222212212212122112220zababaazbzbz，所以，1212zzzz，A对；对于B选项，若1z、2z中至少有一个为虚数，则1z、2z不能比较大小，B错；对于C选项，若120zz，假设1z、2z均不为零，则10z，20z，则存在1、2R，使得1111cosisinzz，2222cosisinzz，则12121212cosisinzzzz，因为221212cossin1，则12cos、12sin不可能同时为零，所以，12121212cosisin0zzzz，故假设不成立，所以，1z、2z中至少有一个为零，C对；对于D选项，122111zzzzz，则1120zzz，因为10z，则10z，由C选项可知，120zz，即12zz，D对.故选：ACD.10．（2023春·山东枣庄·高三统考期中）石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边形，正六边形ABCDEF为其中的一个六元环，设1AB，P为正六边形ABCDEF内一点（包括边界），则下列说法正确的是（）A．44ADABAFB．23ACADABC．AD在AB上的投影向量为ABD．APAB的取值范围为13,22【答案】BCD【分析】建系，利用向量坐标的运算判断A、B、C，对于D：结合向量的投影分析运算.【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，则133333130,0,,,,,2,0,,,,22222222ABCDEF，可得133313,,,,2,0,,222222ABACADAFuuuruuuruuuruuur.对于A：因为444,0ABAFuuuruuur，则44ADABAFuuuruuuruuur，故A错误；对于B：233203322ACADABuuuruuuruuur，故B正确；对于C：因为,60ABAD，则1cos,212ADABADuuuruuuruuur，所以AD在AB上的投影向量为ABABAB，故C正确；对于D：分别过C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、N，则12BMAN，可得AP在AB上的投影的取值范围为13,22，且1AB，所以APAB的取值范围为13,22，故D正确；故选：BCD.11．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）下列说法正确的有（）A．若ab∥，bc∥，则ac∥B．已知向量1,2ar，23,2ab，则1,2bC．若abacrrrr且0a，则b和c在a上的投影向量相等D．若复数11iz，2cosisinz（R），其中i是虚数单位，则12zz的最大值为21【答案】CD【分析】取0b可判断A；根据平面向量的坐标运算直接计算可判断B；根据投影向量公式直接求解可判断C；利用复数的几何意义可判断D.【详解】选项A，若0b，满足ab∥，bc∥，但a与c不一定共线，故A错误；选项B，因为向量1,2ar，23,2ab，所以223,221,21,2baba，故B错误；选项C，因为abacrrrr且0a，b在a上的投影向量为2abaa，c在a上的投影向量2acaa，所以22abacaaaa．故C正确；选项D，由题意可得，2z对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，1z对应的点为1,1，如图所示，则12max21zz，故D正确．故选：CD．12．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）已知复数1z满足11iiz，2zxyi，x，yR，1z，2z所对应的向量分别为1OZ，2OZ，其中O为坐标原点，则（）A．1z的共辄复数为1iB．当0x时，2z为纯虚数C．若12OZOZ∥，则0xyD．若12OZOZ，则1212zzzz【答案】CD【分析】根据复数的除法运算化简复数11iz，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A，B,根据复数