专题6.5 正、余弦定理（解析版）

专题6.5正、余弦定理题型一利用正弦余弦定理进行解三角形题型二判断三角形解的个数题型三三角形面积及其应用题型四判断三角形的形状题型五利用正弦定理求外接圆半径题型六利用正余弦定理进行边角互化题型七解三角形的实际应用题型一利用正弦余弦定理进行解三角形例1．（2022春·福建·高二统考学业考试）ABC的内角,,ABC，所对的边分别为,,abc，且π2,3,3abB，则A的值为（）A．π6B．π4C．π3D．3π4【答案】B【分析】应用正弦定理、三角形内角性质求A的值.【详解】由正弦定理知：sinsinabAB，则6sin22sin23aBAb，(0,π)A，所以π4A或3π4A，又πAB，故π4A.故选：B例2．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考期中）在ABC中，2a，3b，若该三角形为钝角三角形，则边c的取值范围是______.【答案】1,513,5【分析】根据三角形的性质可得15c，分类讨论，结合题意列式求解即可.【详解】由三角形可得15cbacab，解得15c，若该三角形为钝角三角形，注意到ab，则角B为钝角或角C为钝角，可得2220acb或2220abc，即2490c或2490c，解得15c或135c，故边c的取值范围是1,513,5.故答案为：1,513,5.练习1．（2023春·全国·高三专题练习）在ABC中，已知2a，3b，60B，则A角的度数为（）A．30B．45C．45或135D．60【答案】B【分析】根据大边对大角得到角AB，利用正弦定理求得sinA，结合角A的范围求得角A的度数.【详解】由2a，3b得ab，于是AB，由正弦定理得32sin22sin23aBAb，∴45A，故选：B.练习2．（2023春·北京·高三北京市第五十中学校考期中）如图，在ABC中，6,23,26ABACBC，点D在边BC上，且ADC60．(1)求cosB；(2)求线段AD的长．【答案】(1)6cos3B；(2)4AD.【分析】（1）在ABC中利用余弦定理求解即可；（2）先利用同角关系求sinB，在ABD△中利用正弦定理即可求解．【详解】（1）在ABC中，由余弦定理可得222cos2ABBCACBABBC，又6,23,26ABACBC，222626236cos32626B；（2）因为0πB，所以sin0B，226sin1cos1333BB，由60ADC，可得120ADBo，在ABD△中根据正弦定理得：sinsinADABBADB，又3sin3B，6AB，120ADBo，所以sin4sinABBADADB．练习3．（2023春·广东深圳·高三翠园中学校考期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足22()3abcab.(1)求tanC的值；(2)若D为边BC所在线段上一点，且12AD，8BD，16AB，求b的值；【答案】(1)3(2)65【分析】（1）由余弦定理求出C，进而得tanC；（2）在ABD△中，由余弦定理得cosADB，进而求得sinADC，在ADC△中，由正弦定理求得b．【详解】（1）由22()3abcab，可得222abcab，于是得2221cos22abcCab，又0πC，则π3C，所以tan3C；（2）在ABD△中，12,8,16ADBDAB，由余弦定理得641442561cos28124ADB，所以15sin4ADB，则15sinsin(π)sin4ADCADBADB，在ADC△中，由正弦定理有sinsinACADADCC，即1215342b，解得65b.练习4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）ABC中，4AB，5BC，6CA，ABC平分线与AC交于点D，则BD_________.【答案】103【分析】首先利用余弦定理求出cosC、osABC，即可得到2ABCC，再由正弦定理计算可得.【详解】由余弦定理2222225653cos22564BCACABCBCAC，2222225461cos22548BCABACABCBCAB，所以21cos22cos18CC，所以2ABCC，因为BD为ABC的平分线，所以DBCC，所以sinsinπ2sin2BDCCC，在BCD△中由正弦定理sinsinBCBDBDCC，即5sin2sinBDCC，所以5102cos3BDC.故答案为：103练习5．（2023·四川攀枝花·统考三模）如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC平分DAB，π3ABC，33ABBC，则sinDAB的值_______.【答案】5314/5314【分析】由余弦定理求出7AC，再由正弦定理求出21sin14BAC，即得解；【详解】在ABC中，π,3,13ABCABBC，由余弦定理得2222cosACABBCABBCABC2213123172，所以7AC.由正弦定理得sinsinBCACBACABC，3sin212sin147BCABCBACAC.即57cos14BAC.又因为AC平分DAB，所以53sin2sincos14DABBACBAC.故答案为：5314题型二判断三角形解的个数例3．（2022春·高三课时练习）已知在ABC中，060,6,AACBCm，若ABC有两解，则正数m的取值范围为____________．【答案】336m【分析】利用正弦定理得到sin33sinbABam，由题意则0060120B，且090B求解.【详解】解：由正弦定理得：sin33sinbABam，要使三角形有两解，则0060120B，且090B，即3sin12B，解得：336m.故答案为：336m例4．（2023春·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且3a，60A，若三角形有且只有一解，则b的取值范围为___________.【答案】2](0,3【分析】由正弦定理得sinsin2bAbBa，依题意得060B或90B，进而利用三角函数的性质可得结果.【详解】因为3a，60A，由正弦定理sinsinabAB得sinsin60sin23bAbbBa，要使三角形有唯一解，则060B或90B，所以30sin2B或sin1B，即3022b或12b，解得03b或2b，则b的取值范围为2](0,3.故答案为：2](0,3.练习6．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若6a，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（）A．22B．3C．5D．52【答案】BD【分析】由题意sin3sinaBAbb，则角A只有一个解，有sin1A或sin1A且AB，转化为边的关系即可.【详解】由正弦定理得，sin3sinaBAbb，要使此三角形只有唯一解，此三角形时有且只有唯一解，则A只有一个，则31b或31b且ab，所以3b或6b，选项BD符合.故选：BD．练习7．（2021春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）ABC中，30,2,2Aba.则满足这样的三角形的个数为（）A．唯一一个B．两个C．不存在D．有无数个【答案】B【分析】根据正弦定理进行求解即可【详解】已知30,2,2Aba，由正弦定理sinsinabAB，2sin2sin2BA，又ba，则BA，0180A，45B或135，满足条件的三角形有2个三角形.故选：B.练习8．（2023春·福建·高三校联考期中）（多选）在ABC中，60A，角A所对的边3a，下列结论正确的为（）A．若02b，ABC有一个解B．若2b，ABC无解C．若32b，ABC有两个解D．若03b，ABC有一个解【答案】BCD【分析】根据题意，由正弦定理求得sinsin2bAbBa，结合选项中b的取值范围，分类讨论，即可求解.【详解】因为60A且3a，由正弦定理sinsinabAB，即sinsin2bAbBa，当2b时，可得sin1B，所以90B，此时ABC有一个解，故A不正确；当2b时，可得sin1B，不成立（舍去），此时ABC无解，故B正确；当32b时，即ba，则BA，由3sin2B，此时B有两解，即ABC有两解，故C正确；当03b，即ba，则60BA，由3sin2B，此时B只有一解，故D正确.故选：BCD.练习9．（2023春·陕西西安·高三西安市第八十三中学校考期中）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，π4A，22b，若ABC有两解，请写出一个满足题意的a的值：_____.【答案】433（答案不唯一）【分析】取433a，根据正弦定理得到3sin2B，确定三角形有两解，得到答案.【详解】取433a，则sinsinabAB，即43223sin22B，3sin2B，3π0,4B，π3B或2π3B，验证满足，故有两个解，满足.故答案为：433a（答案不唯一）练习10．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在△ABC中，,3,60axbB，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A．222xB．22xC．32xD．223x【答案】C【分析】过C作CDAB于D，根据,,BCCDAC的长度大小关系判断三角形个数，即可确定参数范围.【详解】由题设，过C作CDAB于D，如下图示，则sin6033CDxx，可得32x时，三角形有两解.当sin603x，即2x时，三角形不存在；当3x或2时，△ABC分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；当3x时，在射线BD方向上有一个△ABC，而在射线DB方向上不存在，故此时仅有一个三角形；故选：C题型三利用正弦定理求外接圆半径例5．（北京市东城区2023届高三综合练习数学试题）在ABC中，26a，2bc，1cos4A，则ABCS______.【答案】15【分析】由余弦定理求解,bc，由同角函数基本关系求出sinA，代入面积公式求解即可.【详解】由余弦定理2222cosabcbcA可得222212444()64cccc，解得2c，则24bc，又215sin1cos4AA，所以41511sin222451ABCSbcA.故答案为：15例6．（2023·北京·高一专题练习）在ABC中，32sinabA.(1)求B；(2)若7,3bc，求ABC的面积.【答案】(1)π3或2π3(2)332或334【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理可得a，再由三角形的面积公式即可得到结果.【详解】（1）因为32sinabA，由正弦定理可得，3sin2sinsinABA，因为sin0A，所以3sin2B，且0,πB，所以π3B或2π3.（2）由（1）可知π3B或2π3，且7,3bc，bc，所以BC即π3B，由余弦定理可得，2222cosbacacB，即2179232aa，解得1a或2a，当1a时，11333sin132224ABCSacB，当2a时，11333sin232222ABCSacB，所以ABC的面积为332或3