专题6.5 正、余弦定理（原卷版）

专题6.5正、余弦定理题型一利用正弦余弦定理进行解三角形题型二判断三角形解的个数题型三三角形面积及其应用题型四判断三角形的形状题型五利用正弦定理求外接圆半径题型六利用正余弦定理进行边角互化题型七解三角形的实际应用题型一利用正弦余弦定理进行解三角形例1．（2022春·福建·高二统考学业考试）ABC的内角,,ABC，所对的边分别为,,abc，且π2,3,3abB，则A的值为（）A．π6B．π4C．π3D．3π4例2．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考期中）在ABC中，2a，3b，若该三角形为钝角三角形，则边c的取值范围是______.练习1．（2023春·全国·高三专题练习）在ABC中，已知2a，3b，60B，则A角的度数为（）A．30B．45C．45或135D．60练习2．（2023春·北京·高三北京市第五十中学校考期中）如图，在ABC中，6,23,26ABACBC，点D在边BC上，且ADC60．(1)求cosB；(2)求线段AD的长．练习3．（2023春·广东深圳·高三翠园中学校考期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足22()3abcab.(1)求tanC的值；(2)若D为边BC所在线段上一点，且12AD，8BD，16AB，求b的值；练习4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）ABC中，4AB，5BC，6CA，ABC平分线与AC交于点D，则BD_________.练习5．（2023·四川攀枝花·统考三模）如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC平分DAB，π3ABC，33ABBC，则sinDAB的值_______.题型二判断三角形解的个数例3．（2022春·高三课时练习）已知在ABC中，060,6,AACBCm，若ABC有两解，则正数m的取值范围为____________．例4．（2023春·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且3a，60A，若三角形有且只有一解，则b的取值范围为___________.练习6．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若6a，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（）A．22B．3C．5D．52练习7．（2021春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）ABC中，30,2,2Aba.则满足这样的三角形的个数为（）A．唯一一个B．两个C．不存在D．有无数个练习8．（2023春·福建·高三校联考期中）（多选）在ABC中，60A，角A所对的边3a，下列结论正确的为（）A．若02b，ABC有一个解B．若2b，ABC无解C．若32b，ABC有两个解D．若03b，ABC有一个解练习9．（2023春·陕西西安·高三西安市第八十三中学校考期中）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，π4A，22b，若ABC有两解，请写出一个满足题意的a的值：_____.练习10．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在△ABC中，,3,60axbB，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A．222xB．22xC．32xD．223x题型三利用正弦定理求外接圆半径例5．（北京市东城区2023届高三综合练习数学试题）在ABC中，26a，2bc，1cos4A，则ABCS______.例6．（2023·北京·高一专题练习）在ABC中，32sinabA.(1)求B；(2)若7,3bc，求ABC的面积.练习11．（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，π4A，AB边上的高为14AB，则cosC=（）A．55B．55C．255D．255练习12．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）在ABC中，其三边分别为a，b，c且三角形的面积2224abcS，则角C__________.练习13．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若2EF，13cos14ACF，则ABCS（）A．494B．4934C．492D．4932练习14．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）如图，在ABC中，A为钝角，2AC，CD是ACB的平分线，CD交AB于点D，且3CD，π4ADC．(1)求A的大小；(2)求BCD△的面积．练习15．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若3a，2bc，π3A，则ABC的面积为______.题型四三角形面积及其应用例7．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）若在ABC中，2cosaBc，则三角形的形状一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形例8．（2023春·浙江·高三期中）已知,,abc分别是ABC三内角,,ABC的对边，且满足2sin2cos2CaCaabc，则ABC的是__________三角形．（填三角形的形状特征）练习16．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sin22Acbc，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．30A的三角形练习17．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）（多选）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（）A．若sinsinAB，则coscosABB．若△ABC是锐角三角形，则不等式sincosAB恒成立C．若coscosaBbA，则△ABC必是等边三角形D．若π3A，2abc，则△ABC是等边三角形练习18．（2023·上海·高三专题练习）在ABC中，已知2sin2sin2sinaAbcBcbC.(1)求A；(2)若sinsin1BC，判断ABC的形状.练习19．（2023·江苏·高一专题练习）在ABC中，222abcab，且3sinsin4AB，试判断ABC的形状．练习20．（2023春·江西赣州·高三校考期中）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若23SABAC，2abc，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形题型五判断三角形的形状例9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆O为ABC的外接圆，60BAC，23BC，则OBOC（）A．2B．2C．4D．4例10．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）在锐角ABC中，3AB，4cossin1AB，若BC在AB上的投影长等于ABC的外接圆半径R，则R=______.练习21．（2023春·河北·高三校联考期中）在ABC中，2A+C=B，43AC，则ABC外接圆的半径为（）A．2B．22C．23D．4练习22．（2023春·河南·高三校联考期中）已知ABC外接圆的周长为4，6BAC，则BC（）A．4B．2C．43D．23练习23．（2023春·广东东莞·高三东莞高级中学校考阶段练习）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin3cos30cBBa．(1)求角C的大小；(2)若ABC的外接圆半径7R，4b，求ABC的面积．练习24．（2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点,,ABC都在圆周上，角,,ABC的对边分别为a，b，c，满足45cmc(1)求sinC；(2)若ABC的面积为28cm，且ac，求ABC的周长练习25．（2023·全国·高二专题练习）在锐角ABC中，3AB，4cossin1AB，若BC在AB上的投影长等于ABC的外接圆半径R，则R（）A．4B．2C．1D．12题型六利用正余弦定理进行边角互化例11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知在ABC中，它的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若223sincossin,1CABac，则b_________．例12．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3sincosaBbAc.(1)求B；(2)设3ac，2b，求ABC的面积.练习26．（2023·河北·统考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知22sinsincoscos3sinACBBBcosAC．(1)证明：2acb；(2)若2b，5cos13B，求△ABC的面积．练习27．（2023·全国·模拟预测）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bc，4sincos1CB，则sinsinAB（）A．221310B．22135C．213310D．21335练习28．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知ABC中角,,ABC的对边分别为,,abc，cos3sin0aCaCbc．(1)求A；(2)若13a，且ABC的面积为33，求ABC周长．练习29．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,ab，c.已知2coscoscosCaBbAc.(1)求角C；(2)若6cos4A，求cos2AC的值；练习30．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2coscoscosaBcBC，1b，则下面四个选项中错误的是（）A．π3BB．1acC．coscoscos1aCcAbBD．ABC周长的最大值为3题型七解三角形的实际应用例13．（2023春·福建南平·高一福建省南平市高级中学校考期中）在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足90BAD），灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且120ABC，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD，路宽12mAD.设灯柱高mABh，ACB3045.(1)求灯柱的高h（用表示）；(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值.例14．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）（多选）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75方向上，距离为123海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为66海里，该轮船从A处沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60方向上，下面结论正确的有（）A．122AD海里B．62CD海里C．60CDA或120CDAD．灯塔C在D的南偏西60方向上练习31．（2023·河南·校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，