专题6.6 解三角形的最值（范围）及图形切割（解析版）

专题6.6解三角形的最值（范围）及图形切割题型一利用基本不等式求最值（范围）题型二利用三角函数值域求角的范围题型三利用三角函数值域求边的范围题型四图形切割题型五角平分线的应用题型六中线的应用题型七解三角形的结构不良题型一利用基本不等式求最值（范围）例1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若满足(sin2coscos)sinsin0aABCbAC．(1)求角A的大小；(2)若2a，求ABC面积的取值范围．【答案】(1)π2(2)0,1【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换化简等式，可以得到角π2A.（2）根据勾股定理，由基本不等式得到两直角边积的最值即可.【详解】（1）由正弦定理知，sin(sin2coscos)sinsinsin0AABCBAC，∵0,πA，∴sin0A，∴sin2coscossinsin0ABCBC，化简得sin2coscossinsincos()cos()sin2πABCBCBCπAA，(0,π)A，22πAAπ（其中2πAA2舍去），即π2A．（2）由（1）知2A，则2224bca，那么ABC的面积221124bcSbc（当且仅当2bc时等号成立），则ABC面积的取值范围为0,1．例2．（2023春·浙江·高二期中）已知平面向量sin,23cosaxx，2sin,sinbxx，函数1fxab．(1)求fx的单调增区间．(2)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若4fA，2a，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)πππ,π,Z63kkk(2)4,6【分析】(1)利用向量数量积的坐标运算求出，再通过二倍角与辅助角公式化简，带入三角函数的单调递增区间即可求得；(2)代入已知条件，余弦定理可以获得边之间的关系，再结合基本不等式即可求得周长的取值范围.【详解】（1）212sin23sincos11cos23sin21fxabxxxxxπ2sin(2)26x，所以令πππ2π22π,Z262kxkk-+???，解得ππππ,Z63kxkk-+＃+?，所以函数的单调递增区间为πππ,π,Z63kkk;（2）因为4fA，即π2sin(2)246A，解得ππ22π,Z62Akk，即ππ,Z3Akk，因为A为三角形的内角，所以π3A，又因为2a，所以2241cos22bcAbc，即224,bcbc即22()()4334bcbcbc，解得4bc，又因为a，b，c是ABC的边，所以2bc，故△ABC周长46ABCCabc.所以ABC周长的取值范围是4,6.练习1．（2023·全国·高三专题练习）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22sinacBbac．(1)求sinB；(2)求222bac的最小值．【答案】(1)4sin5B(2)25【分析】（1）由题意和余弦定理可得1cos1sin2BB，结合22sincos1BB计算即可求解；（2）由（1）可得3cos5B，则22265bacac，代入222bac，结合基本不等式计算即可求解.【详解】（1）由余弦定理知2222cosbacacB，所以22sin()2cos2acBbacacBac，由0ac,得sin2cos2BB，即1cos1sin2BB,又因为22sincos1BB，所以221sin(1sin)12BB，即25sin4sin0BB，在ABC中，sin0B，所以4sin5B．（2）由（1）知4sin5B，则1143cos1sin12255BB，得22265bacac，所以22222222266515acacbacacacac625125acac，当且仅当ac时等号成立．所以222bac的最小值为25．练习2．（2023·湖南·校联考模拟预测）在ABC中，abc、、分别是角、、ABC所对的边，向量2,,(cos,cos)cbavAC，且v．(1)求角A的大小；(2)若2ACABuuuruuur，求ABC外接圆半径的最小值．【答案】(1)3(2)233【分析】（1）利用正弦定理边化角求解即可；（2）由正，余弦定理及重要不等式求解即可．【详解】（1）∵2,,cos,coscbavAC，且v，∴2coscos0cbAaC，由正弦定理知：2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（R是ABC外接圆半径），∴2sin22sincos2sincos0RCRBARAC，∴sincos2sincossincos0CABAAC，即sin2sincosACBA，而,,ABC是ABC的三内角，∴sinsin0ACB，∴1cos,23AA；（2）∵2ACABuuuruuur，∴cos2,4bcAbc，2222cos244abcbcAbc，∴2a，当且仅当2cb，等号成立.243232,sin3332aRRA，即ABC外接圆半径的最小值为233．练习3．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知向量1sin,1,3cos,cos22mxnxx，函数fxmn.(1)求函数fx的最大值及相应自变量的取值集合；(2)在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若1,22fAa，求ABC面积的最大值.【答案】(1)max1fx，此时自变量的取值集合为ππ,6xxkkZ(2)3【分析】（1）根据题意，由向量数量积的坐标运算即可得到fx解析式，再由辅助角公式化简，由正弦型函数的最值即可得到结果；（2）根据题意，结合（1）中fx解析式可得π3A，再由余弦定理以及基本不等式即可得到结果.【详解】（1）由题知，13sincoscos22fxmnxxx31πsin2cos2sin2226xxx，当ππ22π,62xkkZ，即ππ,6xkkZ时，fx最大，且fx最大值为1，即max1fx，此时自变量的取值集合为ππ,6xxkkZ.（2）由（1）知，πsin26fxx，则π1sin262fAA，因为在ABC中，0πA，所以ππ132π666A，所以π5π266A，所以π3A，又由余弦定理及2a，π3A得：2222cosabcbcA，即22222cos3πbcbc，所以22424bcbcbc，即4bc（当且仅当bc时等号成立）.所以1133sin32224ABCSbcAbcbc.练习4．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sincoscBabC.(1)求B；(2)若DCAD，2BD，求ABC的面积的最大值.【答案】(1)π6(2)843【分析】（1）利用三角形内角和，正弦定理即可求出角B；（2）利用向量加法，余弦定理和基本不等式求出ac的取值范围，即可得到ABC的面积的最大值.【详解】（1）由题意，在ABC中，3sincoscBabC，∵sinsinsinabcABC，πABC∴3sinsinsinsincosCBABC,即3sinsinsinsincosCBBCBC，∴3sincossin0BBC，∵sin0C，0πB∴3sincos0BB，可得3tan3B，解得：π6B.（2）由题意及（1）得在ABC中，π6B，DCAD，2BD，∴D为边AC的中点，2244216BD∴2BDBABCuuuruuruuur,∴222242BDBABCBABABCBC，即22242cos16BDBABABCBBC，设BAc，BCa，则2222π2cos316236acacacacac，所以163216323ac，当且仅当ac时，等号成立.∴11sin84324ABCSacBac，当且仅当ac时，等号成立，∴ABC的面积的最大值为843.练习5．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）在ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，且1a，π3A，则下列说法正确的是______.①2sinbaB；②sinsinBbA；③ABC周长的最大值为3；④ABACuuuruuur的最大值为12．【答案】②③④【分析】对于①、②，利用正弦定理判断即可，对于③，利用余弦定理结合基本不等式可判断，对于④，由选项③可知221bcbc，结合基本不等式可得1bc，从而可求出ABACuuuruuur的最大值【详解】对于①，因为π3A，所以由正弦定理得πsinsin3abB，所以23sin3baB，所以①错误；对于②，因为1a，所以由正弦定理得1sinsinbAB，所以sinsinBbA，所以②正确；对于③，根据余弦定理得2222211cos222bcabcAbcbc，所以221bcbc，即2()31bcbc，所以2()bc222131()3()24bcbcbcbc，所以2bc，当且仅当1bc时，等号成立，所以13bc，所以③正确.对于④，由选项③可知221bcbc，所以2212bcbcbc，则1bc，当且仅当1bc时，等号成立.所以11cos22ABACbcAbc，所以④正确.故答案为：②③④题型二利用三角函数值域求角的范围例3．（2023春·全国·高三专题练习）锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若2caab，则sinA的取值范围是（）A．23(,)22B．13(,)22C．12(,)22D．2(0,)2【答案】C【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得2CA，再求出A的范围即可.【详解】由2caab，得22caab，由余弦定理得2222coscababC，∴2222cosaabababC，即2cosbaaC，由正弦定理得sin2sincossinAACB，∵πBAC，∴sin2sincossinsincoscossinAACBACAC，即sinsinAAC.∵22caab，∴ca，∴0CA，又ABC为锐角三角形，∴ππ0,022ACA，∴ACA，解得2CA，又π02A，π0π32BA，π022CA，∴ππ64A，∴2sn2i1,2A.故选：C.例4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且2sin3bAa．(1)求角B；(2)求coscoscosABC的最大值．【答案】(1)π3(2)32【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出sinB，从而得解；（2）将coscoscosABC转化为关于A的三角函数，再结合A的取值范围，求出最大值.【详解】（1）由2sin3bAa结合正弦定理可得2sinsin3sinBAA，因为ABC为锐角三角形，所以3sin2B，又π0,2B，故π3B.（2）由（1）可得12πcoscoscoscoscos23ABCAA