专题6.8 平面向量、复数和解三角形(2021-2023年)真题训练(解析版)

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专题6.8平面向量、复数和解三角形真题训练第一部分:平面向量1.(2022年高考全国乙卷数学(文)真题)已知向量(2,1)(2,4)ab,,则abrr()A.2B.3C.4D.5【答案】D【分析】先求得ab,然后求得abrr.【详解】因为2,12,44,3ab,所以22435ab.故选:D2.(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)已知向量1,3,3,4ab,若()abb,则__________.【答案】35【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程,即可解出.【详解】因为1,33,413,34ab,所以由abb可得,3134340,解得35.故答案为:35.【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示,设1122,,,axybxy,121200ababxxyy,注意与平面向量平行的坐标表示区分.3.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)已知向量(,3),(1,1)ambm.若ab,则m______________.【答案】34/0.75【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知:3(1)0abmm,解得34m.故答案为:34.4.(2022年新高考全国II卷数学真题)已知向量(3,4),(1,0),tabcab,若,,acbc,则t()A.6B.5C.5D.6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解:3,4ct,cos,cos,acbc,即931635ttcc,解得5t,故选:C5.(2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题)已知向量1,1,1,1ab,若abab,则()A.1B.1C.1D.1【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出ab,ab,再根据向量垂直的坐标表示即可求出.【详解】因为1,1,1,1ab,所以1,1ab,1,1ab,由abab可得,0abab,即11110,整理得:1.故选:D.6.(2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题)已知向量a,b满足3ab,2abab,则b______.【答案】3【分析】法一:根据题意结合向量数量积的运算律运算求解;法二:换元令cabrrr,结合数量积的运算律运算求解.【详解】法一:因为2abab,即222abab,则2222244aabbaabbrrrrrrrr,整理得220aab,又因为3ab,即23ab,则22223aabbbrrrrr,所以3b.法二:设cabrrr,则3,2,22cabcbabcbrrrrrrrrr,由题意可得:2222cbcbrrrr,则22224444ccbbccbbrrrrrrrr,整理得:22cbrr,即3bcrr.故答案为:3.7.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则ECED()A.5B.3C.25D.5【答案】B【分析】方法一:以,ABAD为基底向量表示,ECEDuuuruuur,再结合数量积的运算律运算求解;方法二:建系,利用平面向量的坐标运算求解;方法三:利用余弦定理求cosDEC,进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一:以,ABAD为基底向量,可知2,0ABADABADuuuruuuruuuruuur,则11,22ECEBBCABADEDEAADABADuuuruuruuuruuuruuuruuuruuruuuruuuruuur,所以22111143224ECEDABADABADABADuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur;方法二:如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,则1,0,2,2,0,2ECD,可得1,2,1,2ECEDuuuruuur,所以143ECEDuuuruuur;方法三:由题意可得:5,2EDECCD,在CDE中,由余弦定理可得2225543cos25255DECEDCDECDECE,所以3cos5535ECEDECEDDECuuuruuuruuuruuur.故选:B.8.(2021年全国新高考I卷数学试题)(多选)已知O为坐标原点,点1cos,sinP,2cos,sinP,3cos,sinP,()1,0A,则()A.12OPOPB.12APAPC.312OAOPOPOPD.123OAOPOPOP【答案】AC【分析】A、B写出1OP,2OP、1APuuur,2APuuur的坐标,利用坐标公式求模,即可判断正误;C、D根据向量的坐标,应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简,即可判断正误.【详解】A:1(cos,sin)OP,2(cos,sin)OP,所以221||cossin1OP,222||(cos)(sin)1OP,故12||||OPOP,正确;B:1(cos1,sin)AP,2(cos1,sin)AP,所以222221||(cos1)sincos2cos1sin2(1cos)4sin2|sin|22AP,同理222||(cos1)sin2|sin|2AP,故12||,||APAP不一定相等,错误;C:由题意得:31cos()0sin()cos()OAOP,12coscossin(sin)cos()OPOP,正确;D:由题意得:11cos0sincosOAOP,23coscos()(sin)sin()OPOPcosβαβcosα2β,故一般来说123OAOPOPOP故错误;故选:AC9.(2021年全国高考乙卷数学(文)试题)已知向量2,5,,4ab,若//abrr,则_________.【答案】85【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程,解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得:2450,解方程可得:85.故答案为:85.10.(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知向量3,1,1,0,abcakb.若ac,则k________.【答案】103.【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量c的坐标,利用向量的数量积为零求得k的值【详解】3,1,1,0,3,1abcakbk,,33110acack,解得103k,故答案为:103.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,平面向量垂直的条件,属基础题,利用平面向量1122,,,pxyqxy垂直的充分必要条件是其数量积12120xxyy.11.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)若向量,ab满足3,5,1aabab,则b_________.【答案】32【分析】根据题目条件,利用ab模的平方可以得出答案【详解】∵5ab∴222229225abababb∴32br.故答案为:32.12.(2022年新高考全国I卷数学真题)在ABC中,点D在边AB上,2BDDA.记CAmCDn,,则CB()A.32mnB.23mnC.32mnD.23mn【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.【详解】因为点D在边AB上,2BDDA,所以2BDDA,即2CDCBCACD,所以CB3232CDCAnm23mn.故选:B.13.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)已知向量,ab满足||1,||3,|2|3abab,则ab()A.2B.1C.1D.2【答案】C【分析】根据给定模长,利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解:∵222|2|||44abaabb,又∵||1,||3,|2|3,abab∴91443134abab,∴1ab故选:C.14.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)设向量a,b的夹角的余弦值为13,且1a,3br,则2abb_________.【答案】11【分析】设a与b的夹角为,依题意可得1cos3,再根据数量积的定义求出ab,最后根据数量积的运算律计算可得.【详解】解:设a与b的夹角为,因为a与b的夹角的余弦值为13,即1cos3,又1a,3br,所以1cos1313abab,所以22222221311abbabbabb.故答案为:11.15.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)已知向量3,1,2,2ab,则cos,abab()A.117B.1717C.55D.255【答案】B【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得,,abababab,从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为(3,1),(2,2)ab,所以5,3,1,1abab,则225334,112abab,51312abab,所以217cos,17342abababababab.故选:B.16.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)向量1,2abc,且0abc,则cos,acbc()A.15B.25C.25D.45【答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0abc,所以abc+=-rrr,即2222ababc,即1122abrr,所以0ab.如图,设,,OAaOBbOCc,由题知,1,2,OAOBOCOAB是等腰直角三角形,AB边上的高22,22ODAD,所以232222CDCOOD,13tan,cos310ADACDACDCD,2cos,coscos22cos1acbcACBACDACD23421510.故选:D.17.(2023年新高考天津数学高考真题)在ABC中,60A,1BC,点D为AB的中点,点E为CD的中点,若设,ABaACb,则AE可用,ab表示为_________;若13BFBC,则AEAF的最大值为_________.【答案】1142ab1324【分析】空1:根据向量的线性运算,结合E为CD的中点进行求解;空2:用,ab表示出AF,结合上一空答案,于是AEAF可由,ab表示,然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1:因为E为CD的中点,则0EDEC,可得AEEDADAEECAC,两式相加,可得到2AEADAC,即122AEab,则1142AEab;空2:因为13BFBC,则20FBFC,可得AFFCACAFFBAB,得到22AFFCAFFBACAB,即32AFab,即2133AFab.于是221121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