专题7.3 求数列的通项公式（解析版）

专题7.3求数列的通项公式题型一观察法题型二周期数列题型三累加法题型四累乘法题型五待定系数法题型六取倒数法、取对数法题型七已知nSfn求通项公式题型八已知nnSfa或者1nnSfa求通项公式题型九因式分解型求通项题型一观察法例1．（2023春·高二课时练习）写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)11513,,,24816；(2)222221314151,,,2345；(3)7，77，777，7777.【答案】(1)232nnna(2)2111nnan(3)71019nna【分析】（1）各项分母分别为12342,2,2,2，第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，得到通项公式.（2）数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，得到通项公式.（3）数列的前4项可以变为71019，271019，371019，471019，得到通项公式.【详解】（1）各项分母分别为12342,2,2,2，第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，则原数列可化为11232，22232，33232，44232，故它的一个通项公式为232nnna，*Nn.（2）这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为2111nnan，*Nn.（3）这个数列的前4项可以变为799，7999，79999，799999，即71019，271019，371019，471019，所以它的一个通项公式为71019nna，*Nn.例2．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15.我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）.若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为___________.【答案】55【分析】根据给定条件归纳总结出“三角形数”的通项公式即可求出第10层球的个数.【详解】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列na，11a，2312a，36123a，4101234a，51512345a，…，由此得123nanL，即(1)2nnna，则10a10(101)552，∴堆垛第10层球的个数为55.故答案为：55.练习1．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）下列有关数列的说法正确的是（）A．数列1，0，1，2与数列2，1，0，1是相同的数列B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为2nanD．数列3,7,11,15，…的一个通项公式为41nan【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A错误；对于选项B，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误；对于选项C，当1n时，120a，故C错误；对于选项D，因为1234113,4217,43111aaa，444115a…，所以数列的一个通项公式为41nan，故D正确.故选：D练习2．（2023春·江西·高三校联考期中）已知数列na为1，4，9，16，25，36，…，则数列na的一个通项公式是（）A．2(1)nnB．12(1)nnC．13(1)nnD．3(1)nn【答案】B【分析】根据观察法，即可求解.【详解】由题意知，数列：1，4，9，16，25，的通项公式为2n，所以数列{}na：1,4,9,16,25,36,的通项公式为12(1)nn.故选：B.练习3．（2023·广东·高三专题练习）已知无穷数列na满足11a，22a，35a，写出满足条件的na的一个通项公式：___________.（不能写成分段数列的形式）【答案】2nnan（答案不唯一）【分析】根据1a，2a，3a，利用不完全归纳法可得答案.【详解】由1121a，22222a，33523a，猜想2nnan.故答案为：2nnan.（答案不唯一）练习4．（2023春·安徽·高三巢湖市第一中学校联考期中）传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把1,3,6,10,叫做三角形数；把1,4,9,16,叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．36B．49C．64D．81【答案】A【分析】分别写出三角形数和正方形数的通项公式，根据通项公式可得答案.【详解】三角形数：1,3,6,10,，可得其通项公式为12nnna；正方形数：1,4,9,16,，可得其通项公式为2nbn，49,64,81nnnaaa均无正整数解，且78949,64,81bbb，所以49，64，81是正方形数不是三角形数，又8636,36ab，36既是三角形数，又是正方形数.故选：A.练习5．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知数列12，12，38，14，532，…，则该数列的第100项为（）A．98252B．100992C．98252D．100992【答案】C【分析】化简数列12345,,,,,2481632，得出数列的第n项为(1)2nnnna，进而求得第100项的值，得到答案.【详解】由数列11315,,,,,228432，可化为数列12345,,,,,2481632，可得数列的第n项为(1)2nnnna，所以第100项为1001001009810010025(1)222.故选：C.题型二周期数列例3．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若数列na满足1111112,1nnnnaaaaa，则2023a（）A．2B．12C．3D．13【答案】B【分析】利用数列的周期性即可求得2023a的值.【详解】因为111111nnnnaaaa，所以111nnnaaa.又因为12a，所以23451111121311323,,,2,111213231123aaaa，所以na是周期为4的数列，故2023312aa.故选：B例4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列na中，已知122,3aa，当2n时，1na是1nnaa的个位数，则2023a（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【分析】由题意，列出数列的前若干项，分析出数列变化规律，进而得出答案.【详解】因为122,3aa，当2n时，1na是1nnaa的个位数，所以36a，48a，58a，64a，72a，88a，96a，108a，118a，124a，可知数列na中，从第3项开始有6nnaa，即当3n时，na的值以6为周期呈周期性变化，又20236337...1，故202312aa.故选：C.练习6．（2023·全国·模拟预测）已知首项为12的数列na的前n项和为nS，若111nnnnSSaa，则1232023aaaa（）A．12B．1C．16D．13【答案】D【分析】根据题意，由递推关系可知数列na的周期为4，即可得到结果.【详解】依题意，111nnnaaa，则111nnnaaa；而112a，则234511,2,3,,32aaaa，故数列na的周期为4．又12341aaaa，则123202312313aaaaaaa.故选：D．练习7．（2023春·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）数列na满足：10a，22a，212(1)nnnaaan，记数列na的前n项和为nS，则2023S______．【答案】2【分析】根据递推公式得到na为周期数列，最小正周期为8，且123456780aaaaaaaa，从而求出2023S.【详解】因为212(1)nnnaaan，10a，22a，所以32122aaa，43222222aaa，5432202aaa，65422aaa，76522aaa，87622222aaa，9872022aaa，109822aaa，1110922aaa，……，故na为周期数列，最小正周期为8，且12345678022202220aaaaaaaa，所以1234567812347202356252Saaaaaaaaaaaaaaa12345672aaaaaaa.故答案为：2练习8．（2023·全国·高二专题练习）洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：1、3、4、7、11、18、29、47、76、123、L，即11L，23L，且21nnnLLLnN.则洛卡斯数列nL的第2020项除以4的余数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】设数列nL各项除以4所得余数所形成的数列为na，从而可知数列na是以6为周期的周期数列，从而可解.【详解】设数列nL各项除以4所得余数所形成的数列为na，则数列na为：1、3、0、3、3、2、1、3、0、3、L，由上可知，数列na是以6为周期的周期数列，即对任意的nN，6nnaa，因为202033664，所以202043aa.故选：D.练习9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足12a，112nnnaaa，则2023a_______.【答案】2【分析】先求不动点方程，根据方程无解再逐项计算根据周期求解即可.【详解】第一步，求不动点，设12xfxx，令fxx得：12xxx，化简得：210xx，显然该方程无解，这种情况下na一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找出规律即可，由题意，12a，所以1211124aaa，2321123aaa，3431425aaa，4541322aaa，565152aaa，6716122aaaa，从而na是以6为周期的周期数列，故20233376112aaa.故答案为：2.练习10．（2023·北京通州·统考三模）数列na中，121124(2)nnnaaaaan，，，则2023a（）A．14B．12C．2D．4【答案】C【分析】根据题意，分别求得345,,aaa，即可得到数列na的周期，从而得到结果.【详解】因为121124(2)nnnaaaaan，，，令2n，则132aaa，求得32a，令3n，则243aaa，求得412a，令4n，则354aaa，求得514a，令5n，则465aaa，求得612a，令6n，则576aaa，求得72a，令7n，则687aaa，求得84a，，所以数列na的周期为6，则202312aa.故选：C题型三累加法例5．（2023·全国·高三专题练习）在数列na中，已知11a，12nnaan，求通项公式