专题7.4 数列求和（原卷版）

专题7.4数列求和题型一倒序相加法题型二分组求和法题型三并项求和法题型四奇偶数列求和题型五裂项相消法题型六含绝对值数列求和题型七数列求和与不等式题型一倒序相加法例1．（2023·全国·高三专题练习）设函数11lnxfxx，设11a，1231,2nnaffffnnnnnnNL．(1)计算1fxfx的值．(2)求数列na的通项公式．例2．（2023·全国·高三对口高考）已知函数4()42xxfx，则()(1)fxfx__________；数列na满足2016nnaf，则这个数列的前2015项的和等于__________.练习1．（2022秋·天津南开·高三天津市天津中学校考期末）已知函数113sin22fxxx，数列na满足2023nna，则122022fafafa（）A．2022B．2023C．4044D．4046练习2．（2022秋·河南漯河·高二漯河高中校考期末）已知函数cos()cos30xfxx，则31259ffff________.练习3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数320237338982022fxx，则12320221949194919491949ffff___________.练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知12cos2cosxxfxx，则202112022iif______.练习5．（2023·全国·高三专题练习）设函数11lnxfxx，设11a，1231,2nnaffffnnnnnnNL．求数列na的通项公式．题型二分组求和法例3．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知等比数列na的各项均为正数，且23439aaa，54323aaa.(1)求na的通项公式；(2)数列nb满足nnbna，求nb的前n项和nT.例4．（2023春·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）已知等差数列na满足39a，105a．(1)①求公差d；②求数列na的通项公式；③设数列na的前n项和为nS，求使得nS最小的n的值；(2)若数列nnab是首项为1，公比为2的等比数列．①求数列nb的通项公式；②求数列nb的前n项和nT．练习6．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期中）设等比数列{}na的前n项和为nS，公比1q，2316,84aS.(1)求数列{}na的通项公式；(2)求数列{}nna的前n项和为nT.练习7．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知ABC的面积为1，点D，E，F分别为线段AB，AC，BC的中点，记DEF的面积为1a；点G，H，I分别为线段AD，AE，DE的中点，记GHI的面积为2a；…；以此类推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为na．(1)求1a，2a，并求数列na的通项公式；(2)若2lognnba，求数列1nnb的前n项和nS．练习8．（2023春·北京丰台·高三北京市第十二中学校考期中）已知数列na的前n项和为nS，且14a，*142Nnnaann，则使得2023nS成立的n的最小值为（）A．32B．33C．44D．45练习9．（2023·江西·校联考模拟预测）已知数列na满足12a，1322nnnaa．(1)令21nnnba，证明：数列nb为等比数列；(2)求数列na的前n项和nS．练习10．（2023·重庆·校联考三模）已知数列na满足：1212nnnaa，11a，22a(1)求数列na的通项公式；(2)记数列na的前n项和为nS，求2023S.题型三并项求和法例5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知公差不为零的等差数列na的首项为1，且125,,aaa是一个等比数列的前三项，记数列na的前n项和为nS．(1)求数列na的通项公式；(2)求数列(1)nnS的前20项的和．例6．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知数列na是公差不为0的等差数列，23a，且358,,aaa成等比数列.(1)求数列na的通项公式；(2)设πcos2nnnaba，求数列nb的前2023项和.练习11．（2023·全国·高三专题练习）设nS是数列na的前n项和，已知30a，1(1)2nnnnaS.(1)求1a，2a；(2)令12nnnbaa，求2462nbbbb.练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知1a，21aa，32aa，…，12nnaan是以1为首项，1为公差的等差数列．(1)求na的通项公式；(2)求数列cosπnna前2n项的和2nS．练习13．（2023·全国·模拟预测）记nS为正项数列na的前n项和，已知41nnaS．(1)求数列na的通项公式；(2)设11nnnbS，求数列nb的前n项和nT．练习14．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列na满足2*111,21nnaaSnnN，其中nS是数列na的前n项和.(1)求数列na的通项公式；(2)数列nb满足πsin2nnnba，求nb的前100项和100T.练习15．（2023·海南·统考模拟预测）已知数列na满足1224nnaan（n≥2，*nN），14a．(1)求证：数列2nan为等比数列，并求na的通项公式；(2)求数列1nna的前n项和nS．题型四奇偶数列求和例7．（2023·山东济宁·统考二模）已知数列na的前n项和为*11,22,nnnnSaaannN，且151,15aS．(1)求数列na的通项公式;(2)若12nnnaanbn，为奇数，为偶数，求数列nb的前2n项和2nT．例8．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列na的前n项和为nS，其公比1q，4578127aaaa，且4393Sa．(1)求数列na的通项公式；(2)已知13log,,nnnanban为奇数为偶数，求数列nb的前n项和nT．练习16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na满足12321naanan．(1)求na的通项公式；(2)已知21,,nnnncaan为奇数，为偶数，求数列nc的前20项和．练习17．（2023春·全国·高三期中）已知数列na满足1322aaa，13,2,nnnanaan为奇数为偶数，数列nc满足21nnca．(1)求数列nc和na的通项公式；(2)求数列na的前n项和nS．练习18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na的前n项和为nS，23S，且11,21,N21,2,Nnnnankkaankk，则16S______．练习19．（2023春·北京·高三北京五十五中校考阶段练习）设等差数列na的前n项和为nS，且28a，440S，数列nb的前n项和为nT，且230nnTb，*Nn.(1)求数列na，nb的通项公式；(2)设,,nnnancbn为奇数为偶数，求数列nc的前21n+项和21nP.练习20．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）（多选）已知数列na满足11a，112,2,nnnnnanaan为奇数为偶数，则下列说法正确的是（）A．37aB．20222aaC．202320232aD．23213265nnSn题型五裂项相消法例9．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知等差数列na前n项和为363,5,27nSaSS，数列nb前n项积为123nnnT.(1)求,nnab的通项公式；(2)设2nnnabcnn，求数列nc的前n项和nQ.例10．（河南省TOP二十名校2023届高三猜题大联考（二）数学（文科）试题）已知等差数列na的前n项和为236,8,36nSaaS.(1)求数列na的通项公式；(2)若数列nc满足*1111N,1nnnnccncaa，求数列nc的通项公式.练习21．（2023春·河南南阳·高三镇平县第一高级中学校考阶段练习）数列11nn的前2022项和为（）A．20221B．20221C．20231D．20231练习22．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列na的前n项和为nS，且12nnaSn.(1)证明：数列na是等差数列；(2)若21a，31a，5a成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列nb的前n项和nT.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）①221nnnnbaa；②11nnnbaa；③11232nnnnnbaa.练习23．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知正项数列na满足11a，121nnaa.(1)证明：数列1na是等比数列，并求数列na的通项公式；(2)设11nnnnabaa，求数列nb的前n项和nT.练习24．（2023春·河南南阳·高三镇平县第一高级中学校考阶段练习）已知数列na的前n项和为nS，且满足122nnaS，*Nn．(1)求数列na的通项公式；(2)令2lognnba，求数列211nb的前n项和nT．练习25．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知正项数列na，其前n项和为nS，且满足2141nnaS，数列nb满足111(1)nnnnnbaa，其前n项和nT，设N，若nT对任意*nN恒成立，则的最小值是___________.题型六含绝对值数列求和例11．（2023·河北·统考模拟预测）在正项数列na中，2124aa，21111222nnnnnnnaaaaaaan．(1)求数列na的通项公式；(2)若31nnba，求数列nb的前n项和nT．例12．（2023·全国·高三对口高考）等差数列na中，nS是它的前n项的和，且满足131113,aSS.则nS的最大值为__________；数列na的前n项和nT__________.练习26．（2022秋·上海浦东新·高三上海市建平中学校考开学考试）已知数列na的通项公式为13nan，那么满足119102kkkaaa的整数k的个数为______．练习27．（2023春·高三课时练习）已知数列na的通项公式100nann，则123990021aaaaaa（）A．150B．162C．180D．210练习28．（2022·高三课时练习）已知数列81na是公比为3的等比数列，若178a，则数列na的前100项和100S（）A．1013162032B．1003153872C．1013153872D．1003162032练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列na的前n项和为nS，且1nnaS.(1)求数列