专题7.5 数列的其他应用（解析版）

专题7.5数列的其他应用题型一分段递推数列求通项公式题型二公共项数列题型三插项数列题型四数列中的新定义问题题型五数列的结构不良题型六递推数列的实际应用题型一分段递推数列求通项公式例1．（2023·江西南昌·统考三模）已知数列{}na满足11a，12,21,1,2,nnnankaank其中*Nk，则数列{}na的前2n项和2nS为______.【答案】13236nn【分析】根据递推公式将偶数项转化为奇数项，再运用递推公式求出奇数项的通项公式，再求和.【详解】由递推公式12,211,2nnnankaank，得1234561,2,3,6,7,14aaaaaa，即2212122121212,121,121kkkkkkkaaaaaaa，*(N)k，数列211ka是首项为112，公比2q=等比数列，2112kka，*Nk，212342121321333nnnnSaaaaaaaaa1352131111naaaan112323323612nnnn；故答案为：13236nn.例2．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）（多选）已知数列na满足10a，112nnnanaan，为奇数，为偶数，则（）A．55aB．当n为偶数时，322nnaC．23nnaaD．数列11nna的前21n项和为2n【答案】BCD【分析】根据已知递推出5a可判断A；令21nkkN，由已知可得2211kkaa，2122kkaa可得21213kkaa，令2nkkN，由已知可得2122kkaa，22211kkaa，所以2223kkaa可判断BC；计算出前21n+项中的奇数项和、偶数项和可判断D.【详解】对于A，因为10a，2111aa，3223aa，4314aa，4526aa，故A错误；对于B，令21nkkN，由已知可得2211kkaa，2122kkaa，所以21213kkaa，又10a，所以2103133kakk，213132kakk，令2nk，所以2nk，当n为偶数时，322nna，故B正确；对于C，由B可知，21213kkaa，令2nkkN，由已知可得2122kkaa，22211kkaa，所以2223kkaa，综上23nnaa，故C正确；对于D，前21n+项中的奇数项和121031122naanSnn奇，前21n+项中的偶数项和2213231222naannSnnn偶，所以数列11nna的前21n+项和为03311222nnSSSnnn奇偶，故D正确.故选：BCD.练习1．（2023·全国·高二专题练习）已知数列na满足11a，111,22,nnnannaann为奇数为偶数，记2nnba，求数列na的通项公式．【答案】122122,21,2nnnnnan为奇数为偶数【分析】推导出数列kbkN为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列2kakN的表达式，根据数列na的递推公式可得出数列21kakN的表达式，然后对n为偶数和奇数两种情况讨论，可得出数列na的通项公式.【详解】解：因为数列na满足11a，111,22,nnnannaann为奇数为偶数，则211122aa，因为2nnba，所以，122212211121142222kkkkkkbaakakkabkN，所以，数列kbkN是首项为12，公比为12的等比数列，所以，12111222kkkkab，因为22121112112222kkkaakak，所以，21211244442kkkaakk.所以，当n为偶数时，设2nkkN，则2nk，所以，2212nknaa；当n为奇数时，设21nkkN，则12nk，此时，211112211114444222222nknnknaakn.综上所述，122122,21,2nnnnnan为奇数为偶数.练习2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列na满足11a，1,,,;nnnannaann为奇数为偶数数列nb满足2nnba．(1)求数列nb的通项公式；(2)求数列11nnbb的前n项和nS．【答案】(1)21nnban(2)1122nSn【分析】（1）根据数列na的递推公式依次写出12342naaaaa，，，，，即可发现规律；（2）由（1）可写出数列11nnbb的表达式，根据裂项求和的方法可求出前n项和nS．【详解】（1）由题意知，11a，211aa，322aa，433aa，544aa，…，212222nnaan，22121nnaan，从而2112342322211nnbannnn．（2）由（1）111111212nnbbnnnn，所以1111111123341222nSnnn．练习3．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）已知数列na满足，*1*2,21,32,2,nnnankkaankkNN，12a，令2nnba.(1)写出1b，2b，并求出数列nb的通项公式；(2)记3lognncb，求nc的前10项和.【答案】(1)14b，212b，143nnb(2)34520log2【分析】（1）由递推关系既可求得1b，2b，再由数列na的通项公式代入到2nnba，可求得数列nb的通项公式；（2）将数列nb的通项公式代入到3lognncb，可求得nc，由分组求和方法计算即可得出nc的前10项和【详解】（1）因为12a，*1*2,21,32,2,nnnankkaankkNN，所以2124aa，323210aa，43212aa又2nnba，所以，124ba，2412ba，当21nk，*kN时，2212kkaa；当2nk，*kN时，21232kkaa，当1k时，2112132kkaa，即212132kkaa，则2212123kkkaaa，212133nnnnbaab，数列nb是以14b为首项，3为公比的等比数列，故143nnb.（2）由（1）可得33loglog41nncbn，记nc的前项和为10S，则1012310Saaaa331011010log414520log22.练习4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知数列na的首项为12cosπ,1,cosπ,nnnnannanann为奇数为偶数,数列1122nnnnaa的前n项和小于实数M，则M的最小值为（）A．1124B．38C．12D．23【答案】C【分析】先分奇偶求出通项公式，再应用裂项相消法即可得前n项和，则得M的最小值.【详解】当*Nk时，2122121121kkkkaaak，即21212121kkaakk.所以当n为奇数时，nan是常数列.又11a，所以当n为奇数时，111naan，即nan，当n为偶数时，1111nnaann，所以当*Nn时，nan.设1122nnnnnbaa，则1121112212nnnnnbnnnn故nb的前n项和为1231223111111112222232212nnnbbbbnn1111112122nn，当n趋向于无穷大时，前n和趋向于12.所以M的最小值为12.故选：C.练习5．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列na满足：①15a；②12,32,nnnanaan为奇数为偶数.则na的通项公式na______；设nS为na的前n项和，则2023S______.（结果用指数幂表示）【答案】322234,32,nnnnan为奇数为偶数1013236079【分析】当n为奇数时令21,N*nkk可得2212kkaa，当n为偶数时令2,N*nkk，可得2121434kkaa，即可得到214ka是以9为首项，3为公比的等比数列，从而求出通项公式，再利用分组求和法计算可得.【详解】当n为奇数时12nnaa，令21,N*nkk，则2212kkaa，当n为偶数时132nnaa，令2,N*nkk，则22211123232238kkkkaaaa，则2121434kkaa，当1k时149a，所以214ka是以9为首项，3为公比的等比数列，所以11214933kkka，所以12134kka，则12121234232kkkkaa，当n为奇数时，由21,N*nkk，则12nk，所以131223434nnna，当n为偶数时，由2,N*nkk，则2nk，所以21223232nnna，所以322234,32,nnnnan为奇数为偶数，所以2023132023242022Saaaaaa23101323101233341012333210112101221011313313410122101113131013236079故答案为：322234,32,nnnnan为奇数为偶数，1013236079题型二公共项数列例3．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）数列,nnab的通项公式分别为31nan和43nbnnN，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合2023,NAnnn中元素的个数为（）A．167B．168C．169D．170【答案】C【分析】利用列举法可知，将集合A中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为nc，可知数列nc为等差数列，求出数列nc的通项公式，然后解不等式2023nc，即可得出结论.【详解】由题意可知，数列:2na、5、8、11、14、17、20、23、26、29、L，数列:1nb、5、9、13、17、21、25、29、33、37、L，将集合A中的元素由小到大进行排序，构成数列:5nc、17、29、L，易知数列nc是首项为5，公差为12的等差数列，则5121127ncnn，由1272023ncn，可得1015116