专题7.4 数列求和（解析版）

专题7.4数列求和题型一倒序相加法题型二分组求和法题型三并项求和法题型四奇偶数列求和题型五裂项相消法题型六含绝对值数列求和题型七数列求和与不等式题型一倒序相加法例1．（2023·全国·高三专题练习）设函数11lnxfxx，设11a，1231,2nnaffffnnnnnnNL．(1)计算1fxfx的值．(2)求数列na的通项公式．【答案】(1)2(2)1,11,2nnann【分析】（1）直接计算()(1)fxfx可得答案；（2）由（1）的计算结果，当2n时，利用倒序相加法可得答案.【详解】（1）1()(1)1ln1ln21xxfxfxxx；（2）由题知，当2n时，1231nnaffffnnnnL，又121nnnafffnnn，两式相加得1122112nnnnaffffffnnnnnn21n，所以1nan，又11a不符合1nan，所以1,11,2nnann.例2．（2023·全国·高三对口高考）已知函数4()42xxfx，则()(1)fxfx__________；数列na满足2016nnaf，则这个数列的前2015项的和等于__________.【答案】120152/1007.5【分析】根据4()42xxfx，化简1fx即可，再利用倒序相加法即可求得答案.【详解】由4()42xxfx，得114214242xxxfx，所以11fxfx，设数列na前n项之和为nS，则20151232014201520162016201620162016Sfffff，20152015201420132120162016201620162016Sfffff，两式相加得201522015S，所以201520152S，即这个数列的前2015项的和等于20152.故答案为：1；20152.练习1．（2022秋·天津南开·高三天津市天津中学校考期末）已知函数113sin22fxxx，数列na满足2023nna，则122022fafafa（）A．2022B．2023C．4044D．4046【答案】A【分析】先求得12fxfx，然后利用倒序相加法求得正确答案.【详解】∵11113sin22fxxx，∴12fxfx．∵20232023120232023nnnnaa，∴20232nnfafa．令122022Sfafafa，则202220211Sfafafa，两式相加得222022S，∴2022S．故选:A练习2．（2022秋·河南漯河·高二漯河高中校考期末）已知函数cos()cos30xfxx，则31259ffff________.【答案】5932/5932【分析】可令(1)(2)(59)sfff，(59)(58)(2)(1)sffff，利用倒序相加法，将角度之和为60的两项结合（如(1)(59))ff化简整理即可．【详解】解：cos()cos(30)xfxx，coscos(60)()(60)cos(30)cos(30)xxfxfxxxcoscos(60)cos(30)xxx2cos(30)cos(30)cos(30)xx3，令(1)(2)(59)sfff，①(59)(58)(2)(1)sffff，②①②得：2[(1)(59)][(2)(58))][(59)(1)]sffffff593，5932s，即593(1)(2)(59)2fff．故答案为：5932.练习3．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数320237338982022fxx，则12320221949194919491949ffff___________.【答案】73【分析】根据已知条件得20237319491011fxfx，再利用倒序相加法即可求解.【详解】由320237338982022fxx，得3320232023202373202373194919493898202238982022fxxx，所以33202320237320237373194938982022389820221011fxfxxx，设12320221949194919491949Sffff①,20222021202011949194919491949Sffff②,由①②，得1202222021202212194919491949194919491949Sffffff+即7373732101110111011S，于是有73220221011S，解得73S，所以1232022731949194919491949ffff.故答案为：73.练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知12cos2cosxxfxx，则202112022iif______.【答案】4042【分析】先判断函数的对称性，然后用倒序相加法求和..【详解】由12cos2cosxxfxx，令0x可得，122f，且2cos12cos2coscosxxxxfxxx，则，11422fxfx所以，函数fx关于点1,22对称，即14fxfx由已知，202111220212022202220222022iiffff，又202112021202012022202220222022iiffff两式相加可得，2021112021220202021122022202220222022202220222022iifffffff202148084所以，2021140422022iif.故答案为：4042.练习5．（2023·全国·高三专题练习）设函数11lnxfxx，设11a，1231,2nnaffffnnnnnnNL．求数列na的通项公式．【答案】1,11,2nnann【分析】通过()(1)2fxfx，将已知na倒序相加得出na的式子，注意1a是否满足即可.【详解】1()(1)1ln1ln21xxfxfxxx；2n时，1231nnaffffnnnnL，121nnnafffnnn，相加得1122112nnnnaffffffnnnnnn22n，所以1nan，又11a，所以对一切正整数n，有1,11,2nnann；题型二分组求和法例3．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知等比数列na的各项均为正数，且23439aaa，54323aaa.(1)求na的通项公式；(2)数列nb满足nnbna，求nb的前n项和nT.【答案】(1)13nna(2)2312nnnnT【分析】（1）根据条件建立关于1,aq的方程组，然后解出即可得答案；（2）利用分组求和法求出答案即可.【详解】（1）∵2345433923aaaaaa，∴2314321113923aqqqaqaqaq，0q，解得113aq，∴13nna；（2）由题可知13nnbn，∴1112133nnTn，∴2113312132nnnnnnnT，例4．（2023春·北京海淀·高二北京交通大学附属中学校考期中）已知等差数列na满足39a，105a．(1)①求公差d；②求数列na的通项公式；③设数列na的前n项和为nS，求使得nS最小的n的值；(2)若数列nnab是首项为1，公比为2的等比数列．①求数列nb的通项公式；②求数列nb的前n项和nT．【答案】(1)①2d；②215nan；③214nSnn，当7n时，nS取最小值(2)①12215nnbn；②22114nnTnn【分析】（1）①根据103103aad直接求解；②根据等差数列的通项公式可求得na的表达式；③根据等差数列的求和公式可求得nS，利用二次函数的基本性质可求得当nS取最小值时n的值；（2）①求出数列nnab的通项公式，结合数列na的通项公式可求得数列nb的通项公式；②利用分组求和法可求得nT.【详解】（1）解：①因为39a，105a，则1035921037aad；②33923215naandnn；③2122152151474922nnnaannSnnn，由二次函数的基本性质可知，当7n时，nS取最小值.（2）解：①因为数列nnab是首项为1，公比为2的等比数列，则11122nnnnab，所以，1122215nnnnban；②011111212222122nnnnnTaaaaaa212211412nnnSnn.练习6．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期中）设等比数列{}na的前n项和为nS，公比1q，2316,84aS.(1)求数列{}na的通项公式；(2)求数列{}nna的前n项和为nT.【答案】(1)4nna；(2)214423nnnnT.【分析】（1）利用基本量法，即可求解.（2）利用分组求和即可求解.【详解】（1）解：121111684aqaaqaq，解得11644()144aaqq