专题8.2 空间中的平行和垂直关系（解析版）

专题8.2空间中的平行和垂直关系题型一线面平行、面面平行的判定定理题型二补全平行的条件题型三线面平行、面面平行的性质定理题型四线面垂直、面面垂直的判定定理题型五补全垂直的条件题型六线面垂直、面面垂直的性质定理题型七判断平行，垂直的有关命题题型八平行，垂直的综合应用题型一线面平行、面面平行的判定定理例1．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，已知四棱锥PABCD中，//ABCD，O、M分别是CD、PC的中点，PO底面ABCD，且POODDAABBC(1)证明：//PA平面OBM；(2)若1PO，求三棱锥MPAB的体积．【答案】(1)证明见解析(2)324【分析】（1）可以通过作辅助线结合中位线得到线线平行证明线面平行或者通过证明面面平行得到线面平行；（2）先求三棱锥PABC的体积，得到三棱锥MABC的体积，利用几何体的分割可得答案.【详解】（1）证法一：连接AC交BO于点N，连接,MNOA．//,ABCDOCODAB，∴四边形ABCO为平行四边形,∴N是CA的中点；∵CAP中，M是CP的中点,//MNPA；∵PA平面OBM，MN平面OBM，∴//PA平面OBM.证法二：CDP中，,OM分别是,CDCP的中点，//OMDP，又OM平面PAD，PD平面PAD,//OM平面PAD，//ABDC且ABDO，∴四边形ABOD是平行四边形，//BOAD，又BO平面PAD，AD平面PAD,//BO平面PAD;OMOBO，,OBOM平面OBM,∴平面//OBM平面PAD，∵PA平面PAD，//PA平面OBM.（2）连结MA，AC，由OBC△中，1OBADBCCO，得60BCO，120ABC,∴ABC的面积13sin24ABCSBABCABC;又PO平面ABCD，1PO,∴三棱锥PABC的体积为11331133412PABCABCVS;∵M是PC的中点，13224MABCPABCVV,∴333122424MPABPMABPABCMABCVVVV.例2．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）如图，正三棱柱111ABCABC-的所有棱长都等于2，E，F，G分别为11BC，11AB，AB的中点．(1)求证：平面11ACG//平面BEF；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）利用面面平行判定定理即可证得平面11ACG//平面BEF；【详解】（1）E，F分别为11BC，11AB的中点，11EFAC∥，11AC平面11ACG，EF平面11ACG，//EF平面11ACG，又F，G分别为11AB，AB的中点，1AFBG，又1AFBG∥，四边形1AGBF为平行四边形，则1BFAG∥，1AG平面11ACG，BF平面11ACG，//BF平面11ACG，又EFBFF，EF，BF平面BEF，平面11ACG//平面BEF．练习1．（2022春·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）如图，ABC中，22ACBCAB，ABED是正方形，平面ABED平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．(1)求证：//GF平面ABC；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，得到面面平行，从而得到线面平行；【详解】（1）证明：如图，取BE的中点H，连接HF，GH．G，F分别是EC和BD的中点，//HGBC，//HFDE．又四边形ADEB为正方形，//DEAB，从而//HFAB．BC平面ABC，HG平面ABC，//HG平面ABC，同理//HF平面ABC，又HGHFH，平面//HGF平面ABC，∵GF平面HGF，则//GF平面ABC；练习2．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）如图,四棱锥PABCD中,PA底面,,ABCDADBCN∥为PB的中点.(1)若点M在AD上,32,4AMMDADBC,证明:MN平面PCD;【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取PC中点F,连接,NFDF,根据已知条件证明四边形NFDM是平行四边形,即可证明;【详解】（1）如图所示:取PC中点F,连接,NFDF,因为2MDAM,所以23MDAD,又34ADBC,所以12MDBC,因为ADBC∥,所以MDBC∥,又因为N为PB的中点,所以NFBC∥且12NFBC,即有NFMD∥且NFMD,所以四边形NFDM是平行四边形,所以MNDF∥,又因为MN平面,PCDDF平面PCD，所以MN平面PCD.练习3．（2023春·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，3EP，2,1,,//,,BPADAEAEEPAEBPFG分别是,BCBP的中点.(1)设过三点,,PEC的平面为，求证：平面AFG//平面；(2)求四棱锥DABPE与三棱锥PBCD的体积之比.【答案】(1)证明见解析(2)32【分析】（1）先分别证明//FG平面，//AG平面，再根据面面平行的判定定理即可得证；（2）过P作PHAB，垂足为H，先根据面面垂直的性质分别证明AD平面ABCD，PH平面ABCD，再根据锥体的体积公式即可得解.【详解】（1）∵G是BP的中点，∴112PGBP，又∵1AE，∴AEPG，又∵//,AEPGAEEP，∴四边形AEPG是矩形，∴//AGEP，∵AG平面，PE平面，∴//AG平面，∵,FG分别是BC，BP的中点，∴//FGPC，∵FG平面，PC平面，∴//FG平面，∵AGFGG，且,AGFG平面AFG，∴平面AFG//平面；（2）过P作PHAB，垂足为H，因为平面ABCD平面ABPE，平面ABCD平面ABPEAB，ADAB，AD平面ABCD，所以AD平面ABCD，∴112331322DABPEV，∵因为平面ABCD平面ABPE，平面ABCD平面ABPEAB，PHAB，PH平面ABPE，∴PH平面ABCD，即PH是三棱锥PBCD的高，∵31,AGEPPGAEBG，∴由勾股定理得22312ABAGBG，32,sin2AGCDABABGAB，∴sin3PHBPABG，∴113213323PBCDV，∴四棱锥DABPE与三棱锥PBCD的体积之比332233.练习4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，E为棱AB的中点，DE与AC交于点,FG为PBC的重心.(1)求证：FG平面PAB；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线线平行和线面平行的证法和线面平行的判定即可求解；【详解】（1）证明：延长CG交PB于点H，连接AH，则H为PB的中点，因为E为AB的中点，所以2ABCDAE，又AECD∥，所以2CFCDFAAE，因为G为PBC的重心，所以2CGGH，所以CFCGFAGH，所以FGAH∥，又AH平面,PABFG平面PAB，所以FG平面PAB.练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知点E，F分别是正方形ABCD的边AD，BC的中点.现将四边形EFCD沿EF折起，如图所示.若点G，H分别是AC，BF的中点，求证：//GH平面EFCD.【答案】证明见解析.【分析】连接AF，设点O为AF的中点，连接GO，OH，则可证//OGCF和//OHEF，从而证得//OG平面EFCD和//OH平面EFCD，则平面//GOH平面EFCD，即可证//GH平面EFCD.【详解】证明：如图，连接AF，设点O为AF的中点，连接GO，OH，在ACF△中，因为点O为AF的中点，点G为AC的中点，所以//OGCF.因为OG平面EFCD，CF平面EFCD，所以//OG平面EFCD.同理可证得//OHAB，又因为E，F分别为正方形ABCD的边AD，BC的中点，故//EFAB，所以//OHEF.因为OH平面EFCD，EF平面EFCD，所以//OH平面EFCD.又因为OHOGO，OH平面GOH，OG平面GOH，所以平面//GOH平面EFCD.又因为GHÌ平面GOH，所以//GH平面EFCD.题型二补全平行的条件例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，,FG分别为,PBAD的中点.(1)证明：AF平面PCG；(2)在线段BD上是否存在一点N，使得FN平面PCG，并给出必要的证明.【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【分析】（1）取PC中点H，证明四边形AGHF为平行四边形即可；（2）设BDCGO，取OB中点K，先证明//FK平面PCG，即可证明点N在线段BD靠近B端的三等分点时符合题意.【详解】（1）证明：取PC中点H，连接,GHFH，在PBC中，F为PB的中点，12FHBC∥.G为AD的中点，1,,2AGBCAGFHAGFH，即四边形AGHF为平行四边形，AFGH∥.GHQ平面,PCGAF平面,PCGAF平面PCG.（2）设BDCGO，取OB中点K，连接FK，则在POB中，,FK分别是,OBPB的中点，FKOP∥OP平面,PCGFK平面PCG，FK平面PCG.DOG与BOC相似，且相似比为1:2，22BODOKBK为BD的三等分点.N在K点位置时满足FN平面PCG.即点N在线段BD靠近B端的三等分点时符合题意.例4．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）三棱柱111ABCABC-中，四边形11AABB是菱形，1160AAB，平面11AABB平面111ABC，ABC是等腰三角形，120ACB，23AB，1BC与1BC交于点M，1AA，11AB的中点分别为N，O，如图所示.(1)在平面11AABB内找一点D，使//MD平面1CNO，并加以证明；【答案】(1)D为BN的中点，证明见解析；【分析】（1）取BN的中点D，利用线面平行的判定推理作答.【详解】（1）连接BN，取BN的中点为D，连接MD，则//MD平面1CNO.在三棱柱111ABCABC-中，四边形11BCCB是平行四边形，即M为1BC的中点，而D为BN的中点，于是1//MDCN，MDË平面11,CNOCN平面1CNO，所以//MD平面1CNO.练习6．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台111ABCABC-中，114AC，6AC，D为线段AC上靠近C的三等分点.(1)线段BC上是否存在点E，使得1//AB平面1CDE，若不存在，请说明理由；若存在，请求出BEBC的值；【答案】(1)存在，23BEBC【分析】（1）取BC的靠近点C的三等分点E，连接1CE、DE、1DC，证明出平面11//AABB平面1CDE，利用面面平行的性质可得出1//AB平面1CDE，由此可得出结论；【详解】（1）取BC的靠近点C的三等分点E，连接1CE、DE、1DC，则11226433ADACAC，又因为11//ADAC，所以，四边形11AACD为平行四边形，则11//AADC，因为1DC平面11AABB，1AA平面11AABB，所以，1//DC平面11AABB，因为13CDCEACBC，所以，//DEAB，因为DE平面11AABB，AB平面11AABB，所以，//DE平面11AABB，因为1DCDED，1DC、DE平面1CDE，所以，平面11//AABB平面1CDE，因为1AB平面11AABB，故1//AB平面1CDE，因此，线段BC上是否存在点E，且当23BEBC时，1//AB平面1CDE.练习7．（2023春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考期中）如图所示，三棱柱111ABCABC-，底面是边长为2的正三角形，侧棱1AA底面ABC，点,EF分别是棱11,CCBB上的点，点M是线段AC上的动点，22ECFB