专题8.1 空间几何体的表面积和体积（解析版）

专题8.1空间几何体的表面积和体积题型一空间几何体的结构特征题型二斜二测画法题型三最短路径题型四空间几何体的表面积题型五空间几何体的体积题型六截面问题题型一空间几何体的结构特征例1．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在长方体1111ABCDABCD中，鳖臑的个数为（）A．48B．36C．24D．12【答案】C【分析】每个顶点对应6个鳖臑，所以8个顶点对应48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除2，即可得解.【详解】在正方体ABCDEFGH中，当顶点为A时，三棱锥AEHG、AEFG、ADCG、ADHG、ABCG、ABFG均为鳖臑．所以8个顶点为4868个．但每个鳖臑都重复一次，所以，鳖臑的个数为48242个.故选：B．例2．（2023·全国·高一专题练习）下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（）A．棱柱的侧棱互相平行B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥C．正三棱锥的各个面都是正三角形D．棱台各侧棱所在直线会交于一点【答案】C【分析】根据相应几何体的定义和性质判断即可.【详解】根据棱柱的性质可知A正确；当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故B正确；正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故C错误；棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，故侧棱所在直线必交于一点，D正确.故选：C练习1．（2023·全国·高一专题练习）一个几何体由六个面组成，其中两个面是互相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是（）A．三棱柱B．三棱台C．四棱柱D．四棱台【答案】D【分析】根据条件，分别对题目中四个选项分析推理.【详解】不妨假定两个平行的面是上下底面，并且必须是6个面，显然三棱柱和三棱台不满足要求，四棱柱要求各侧面均为平行四边形，上下两个平面为全等的四边形，不满足要求，四棱台上下两个底面相互平行，其余各面都是梯形，故满足条件的几何体是四棱台.故选：D.练习2．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列说法正确的是（）A．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．棱台的侧面都是等腰梯形C．底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形D．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面【答案】CD【分析】根据圆锥、棱台、棱柱的定义及结构特征逐一判断即可.【详解】圆锥是以直角三角形的某一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体，当绕斜边旋转时，不是棱锥，故A错误；棱台的侧面都是梯形，但棱台的侧棱不一定都相等，故B错误；圆锥的轴截面是等腰三角形，其腰长为2r，又底面半径为r，故等腰三角形的底边为2r，即该圆锥的轴截面为等边三角形，故C正确；棱柱的侧面都为平行四边形，所以侧棱都相等，棱柱包含直棱柱与斜棱柱，故侧棱不一定都垂直于底面，故D正确.故选：CD.练习3．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是圆锥B．球体的截面都是圆面C．正四棱台的侧面展开图是一个等腰梯形D．正三棱锥的四个面都是等边三角形【答案】B【分析】根据几何体的特征依次判断每个选项得到答案.【详解】对选项A：等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是两个圆锥的组合体，错误；对选项B：球体的截面都是圆面，正确；对选项C：正四棱台的侧面是一个等腰梯形，侧面展开图不是，错误；对选项D：正三棱锥的侧面可能不是等边三角形，错误.故选：B练习4．（2023春·甘肃·高三校联考期中）（多选）下列命题正确的是（）A．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形【答案】AC【分析】根据圆锥母线的定义可判断A，根据棱台的定义可判断B，根据圆台的定义可判断C，根据平面与圆柱底面的位置关可判断D.【详解】对于A，根据圆锥的母线的定义，可知A正确；对于B，把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故B错误；对于C，根据圆台的定义，可知C正确；对于D，当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故D错误.故选：AC练习5．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）某儿童玩具的实物图如图1所示，从中抽象出的几何模型如图2所示，由OA，OB，OC，OD四条等长的线段组成，其结构特点是能使它任意抛至水平面后，总有一条线段所在的直线竖直向上，则sinAOB=（）A．223B．22C．423D．823【答案】A【分析】利用正四面体的外接球相关性质，解三角形即可.【详解】如图，连接AB，AC，AD、BC，CD，BD，得到正四面体ABCD，则点O为正四面体ABCD外接球的球心，延长AO交底面BCD于G，则G为BCD△的中心.设23AB，外接球的半径为R，连接BG，在正三角形中，易得2BG，则22AG，故在RtBGO△中有：22222224BOOGBGRR，解得322R，则2221cos23OAOBABAOBOAOB，所以22sin3AOB，故选：A.题型二斜二测画法例3．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，OAB△是OAB的直观图，则OAB是（）A．正三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则，化简OAB△的直观图OAB，结合图形，即可求解.【详解】因为45xOy，则线段AB与y轴必相交，令交点为C，如图（1）所以，在直角坐标系xOy中，点A在x轴上，可得OAOA，点C在y轴上，可得2OCOC，如图（2）所示，因此点B必在线段AC的延长线上，所以90BOACOA，所以OAB是钝角三角形．故选：C．例4．（2023·全国·高三专题练习）某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形1111OABC，其中116OA，112OC，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（）A．6B．46C．42D．210【答案】B【分析】通过直观图与原图的关系得出A、C两点的坐标，即可得出答案.【详解】根据四边形OABC直观图将其还有为平面图形如图：根据直观图与原图的关系可得：116OAOA，2222242OD，112CDOC，则点6,0A，2,42C，224202646AC，故选：B.练习6．（2023春·全国·高三专题练习）如图等腰梯形ABCD，ABCD，1AB，2AD，3CD，那么该梯形直观图的面积是______.【答案】62【分析】根据斜二测画法的性质结合梯形面积公式即可求解.【详解】由题意可知等腰梯形ABCD的高22224132DCABAEADDEAD-=-==,由斜二测画法的规则可知：该梯形直观图中的高为1126sin4532224AE=，,ABCD的长度在直观图中与原图保持一致，故直观图的面积为16613242=故答案为：62练习7．（2023·全国·高三专题练习）如图，ABC是ABC的直观图，其中1BOCO，32AO，那么ABC是一个（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．无法确定【答案】A【分析】将直观图还原，分析几何图形的形状.【详解】如图，将直观图还原，则1BOCO，3AO，所以2ABACBC，即ABC是正三角形.故选：A.练习8．（2023·全国·高一专题练习）已知在如图所示的等腰梯形ABCD中，1,3ABDC，2AD，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积为__________.【答案】22/122【分析】如图所示，过,AB作,AEDCBFDC，垂足分别为,EF，求出1AE，即得解.【详解】解：如图所示，过,AB作,AEDCBFDC，垂足分别为,EF.依题意，1,3,1,2ABDCDEAD，所以1AE，可知等腰梯形ABCD的面积为113122，根据斜二测画法规则知，其直观图的面积为原图形面积的24，所以该梯形的直观图的面积为22242.故答案为：22.练习9．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中3OA，1OC，则原图形是（）A．面积为62的矩形B．面积为324的矩形C．面积为62的菱形D．面积为324的菱形【答案】C【分析】根据题意利用斜二测画法判断原图形的形状，即可求出其面积.【详解】451DOAOCCD，，所以2OD，故在原图中，22OD，1CDCD22813OCODCD，所以四边形OABC为菱形(如图所示)，3OA，则原图形面积为62SOAOD.故选：C.练习10．（2023春·河南周口·高三校考期末）如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（）A．16B．12C．482D．442【答案】A【分析】根据斜二测画法分析运算.【详解】在直观图中，222,2222OAOB，可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为22242，则另一边长为222(42)6，所以原图形的周长为22616．故选：A.题型三最短路径例5．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（）A．25B．23C．42D．23【答案】A【分析】将锥体侧面展开为扇形，先求出所得扇形圆心角，再根据两点间线段距离最短，求最短路径.【详解】由题意，底面圆的直径AB＝2，故底面周长等于2π.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π＝4π180n，解得n＝90，所以展开图中∠PSC＝90°，故PC＝25，所以小虫爬行的最短距离为25.故选：A例6．（2023·全国·高一专题练习）如图，正三棱锥VABC中，2,2ABBCACVAVBVC，点,MN分别为,VABC的中点，一只蚂蚁从点M出发，沿三棱锥侧面爬行到点N，求：(1)该三棱锥的体积与表面积；(2)蚂蚁爬行的最短路线长.【答案】(1)体积为23，表面积为33；(2)102.【分析】（1）将△VBC当作底面，将VA当作三棱锥的高，由三棱锥体积公式即可求得三棱锥的体积；再由求出各个面的面积，由面积公式可得三棱锥的表面积；（2）将△AVB与CVB延VB展开，使得两个三角形在同一个平面上，连接MN，再由余弦定理即可求得最短值.【详解】（1）因为2,2ABBCACVAVBVC，所以222222222,,VAVBABVBVCBCVAVCAC，即,,VAVBVBVCVAVC，又VBVCV，VB、VC在面VBC内，得VA面VBC，1122223323VABCAVBCVBCVVSVA，22233233;24VABCVBCVABVACCABCSSSSS（2）如下图：连接MN，线段MN的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，△MCN中，32π,1,24MCCNMCN，由余弦定理可得：222π2cos4MNMCCNMNCN，即2932251012122222MNMN.练习11．（2023·安徽铜陵·统考三模）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为2km，山高为215km，B是山坡SA上一点，且2kmAB.现要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为______.【答案