专题8.3 利用传统方法求角度和距离（原卷版）

专题8.3利用传统方法求角度和距离题型一求异面直线的夹角题型二求直线与平面的夹角题型三求平面与平面的夹角题型四已知夹角求距离题型五求几何体的体积题型六利用等体积法求点到面的距离题型一求异面直线的夹角例1．（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，1O为底面1111DCBA的中心，E为BC的中点，则异面直线1AO与1CE所成角的余弦值是________.例2．（2023·河北·校联考一模）如图，在三棱锥ABCD中，ABCD，ADBC，且3BDAC，点E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线AC与BD所成角的大小为__________，AC与EF所成角的余弦值为__________.练习1．（2023春·广东广州·高一广州四十七中校考期中）如图，在正四面体ABCD中，M是BC的中点，P是线段AM上的动点，则直线DP和BC所成角的大小（）A．一定为90B．一定为60C．一定为45D．与P的位置有关练习2．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，60ABC且2,SAABBCE为SA的中点，则异面直线SC与DE所成的角的余弦值为（）A．255B．105C．55D．155练习3．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ABC是等边三角形，1AAAB，D，E，F分别是棱1AA，1BB，BC的中点，则异面直线DF与1CE所成角的余弦值是______.练习4．（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知三棱柱111ABCABC-中，1ABACAA，1160ABCBBABBC，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为（）A．22B．32C．36D．56练习5．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，正方体1111ABCDABCD中，E，F分别是1DD，DB的中点，则异面直线EF与1AD所成角的正切值为（）A．2B．22C．33D．3题型二求直线与平面的夹角例3．（2021春·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，且DB平分ADC，E为PC的中点，1ADCD，22DB.(1)证明PA//平面BDE；(2)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.例4．（2022秋·浙江杭州·高二统考期末）如图，在三棱锥PABC中，M是AC的中点，AC平面PAB，PBPC，2AB，4AC，1AP.(1)求证：PB平面PAC；(2)求直线BM与平面PAC所成角的正弦值.练习6．（2023春·山东临沂·高三校考期中）如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：//MN平面PAD；(2)若PB中点为Q，求证：平面//MNQ平面PAD.(3)若PA平面ABCD，2ABPA，求直线PB与面PAD所成的角.练习7．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）米斗是称量粮食的量器，是古代官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（）A．12B．32C．55D．255练习8．（2023·全国·高三专题练习）在长方体1111ABCDABCD中，1AB，2BC，15AA，则1AC与平面ABCD所成角的正切值为（）A．12B．2C．55D．5练习9．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E、F分别为AA1、AC的中点.(1)求证：EF∥平面CDA1B1；(2)求EF与平面DBB1D1夹角的余弦值.练习10．（2023·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面ACD平面ABC，BE平面ABC，ACD是边长为2的正三角形，233ABBC，3BE．(1)点M为线段CD上一点，求证：DEAM；(2)求AE与平面BCE所成角的正弦值．题型三求平面与平面的夹角例5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，E，F分别为1CC，1AA的中点，则下列结论错误的是（）A．1BE平面BEFB．直线1BE与直线BF所成的角为90C．平面BEF与平面ABCD的夹角为45D．直线1DF与平面ABCD所成的角为45例6．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知四面体ABCD，D在面ABC上的射影为O，O为ABC的外心，4ACAB，2BC.(1)证明：BC⊥AD；(2)若E为AD中点，OD=2，求平面ECO与平面ACO夹角的余弦值．练习11．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小．练习12．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知，正三棱柱111ABCABC-中，12,1AAAC，延长CB至D，使CBBD.(1)求证：1CADA；(2)求平面1BAD与平面ADC所成锐二面角的余弦值.练习13．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）如图，在圆柱1OO中，12OO，A为圆O上一定点，B为圆O上异于点A的一动点，23OA，过点O作平面1ABO的垂线，垂足为C点.(1)若OAOB，求证：1BCOA.(2)若AOB为等边三角形，求二面角1AOBO的余弦值.练习14．（2023春·吉林·高三校联考期中）如图，四棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD是菱形，1AA平面ABCD，1AB，12AA，60BAD，点P为1DD的中点.(1)求证：直线1BD//平面PAC；(2)求二面角1BACP的余弦值.练习15．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在圆锥PO中，已知PO底面O，2PO，O的直径2AB，C是AB的中点，D为AC的中点.(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求三棱锥DPBC的体积；(3)求二面角BPAC的余弦值.题型四已知夹角求距离例7．（2023·上海徐汇·统考三模）如图，已知顶点为S的圆锥其底面圆O的半径为8，点Q为圆锥底面半圆弧AC的中点，点P为母线SA的中点.(1)若母线长为10，求圆锥的体积；(2)若异面直线PQ与SO所成角大小为π4，求P、Q两点间的距离.例8．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校考阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，283ABBC，π3DAB，E为边AB的中点，将ADEV沿直线DE翻折为ADE，若F为线段AC的中点．在ADEV翻折过程中，(1)求证：//BF平面ADE¢；(2)若二面角60ADEC，求AC与面AED所成角的正弦值.练习16．（2023·上海·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，//ADBC，ABBC，ABAD，2BCAB，,EF分别为棱,BCBP中点．(1)求证：平面//AEF平面DCP；(2)若平面PBC平面ABCD，直线AP与平面PBC所成的角为45，且CPPB，求二面角PABC--的大小．练习17．（2023·上海·高三专题练习）如图，正四棱柱1111ABCDABCD中，2AB，点E、F分别是棱BC和1CC的中点．(1)判断直线AE与1DF的关系，并说明理由；(2)若直线1DE与底面ABCD所成角为π4，求四棱柱1111ABCDABCD的全面积．练习18．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）如图所示，三棱台ABCEFG中，EA底面ABC，90,2ACBABEF．(1)证明：AFG是直角三角形；(2)若,AEACBCAC，问为何值时，直线EF与平面AFG所成角的正弦值为225？练习19．（2021春·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SA底面ABCD，E是SC上一点.(1)求证：平面EBD平面SAC；(2)当SAAB的值为多少时，二面角BSCD的大小为120.练习20．（2023·河南·校联考模拟预测）在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，60ABCACD，2ABBC，1CD，且二面角PBCA为60，则四棱锥PABCD的侧面积为（）A．353B．10C．9332D．11题型五求几何体的体积例9．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，平面PAB平面PBC．(1)证明：四边形ABCD是正方形；(2)若3PAAB，M为PC上一点，且满足3PCPM，求三棱锥PABM的体积．例10．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD，AC与BD交于点O，OP底面ABCD，3OP，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．(1)求证：平面//OEF平面PCD；(2)求三棱锥OPEF的体积．练习21．（2023·贵州·校联考模拟预测）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，,6,3EFABEFEAEDFBFC∥.(1)证明：平面ADE平面FBC.(2)求四棱锥CABFE的体积.练习22．（2023春·高三平湖市当湖高级中学校联考期中）如图，在正方体1111ABCDABCD中2AB，,EF分别是棱11,AACC的中点，设P是线段11BD上一动点.(1)证明：PE//平面BDF；(2)求三棱锥PBDF的体积.练习23．（2023·青海海东·统考模拟预测）如图，四棱锥PABCD的底面是等腰梯形，//ADBC，222BCABAD，3PC，PC底面ABCD，M为棱AP上的一点.(1)证明：ABCM；(2)若三棱锥PCDM的体积为112，求PMPA的值.练习24．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，在直三棱柱111ABCABC-中，6AC，8BC，10AB，15AA，点D为棱AB的中点，点E为棱11AB上一点.(1)证明：1ACBC；(2)求三棱锥BECD的体积；(3)求直线1AC与平面11BBCC所成角的余弦值.练习25．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形11ACCA与四边形11BCCB是全等的矩形，1222ABACAA，若P是1AA的中点.(1)求证：平面11PBC平面1PBC；(2)如果1AC，求三棱锥111BACP与多面体1ABCPB的体积比值.题型六利用等体积法求点到面的距离例11．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）如图所示，正三棱柱111ABCABC-中各条棱长均为2，点,,MNE分别为棱1,,ACAAAB的中点．(1)求异面直线MN和CE所成角的正切值；(2)求点B到平面MEN的距离．例12．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在直角三角形ABC中，90,,24,1ABCDEBCBDADDE∥，将ADEV沿DE折起到PDE△的位置，使平面PDE平面BCED，点M满足2CMMP.(1)证明：BCME；(2)求点M到平面PBE的距离.练习26．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）如图在多面体111ABCABC-中，111////AABBCC，1AA平面111ABC，111ABC△为等边三角形，1112ABBB，13AA，11CC，点M是