专题8.5 球的外接和内切（解析版）

专题8.5球的外接和内切题型一长（正）方体的外接球题型二线面垂直模型题型三对棱相等模型题型四共斜边模型题型五球心在外心正上方模型题型六面面垂直模型题型七折叠模型题型八外接球的最值问题题型九内切球题型一长（正）方体的外接球例1．（2023·河南·校联考模拟预测）棱长为2的正方体1111-ABCDABCD的外接球的球心为O，则四棱锥OABCD的体积为（）A．23B．43C．2D．83【答案】B【分析】求出O到平面ABCD的距离，利用体积公式进行求解.【详解】正方体1111-ABCDABCD的外接球的球心为O，由对称性可知O为正方体的中心，O到平面ABCD的距离为1，即四棱锥OABCD的高为1，而底面积为224，所以四棱锥O-ABCD的体积为144133．故选：B例2．（2023·江苏·高一专题练习）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（）A．9π2B．33πC．9D．27π【答案】A【分析】先求得正方体的边长，然后求得球的半径，进而求得球的体积.【详解】设正方体的边长为,0aa，则2618,3aa，正方体的对角线长为3333，所以球的直径23R，半径32R，所以球的体积为34π39π×=322.故选：A练习1．（2023·全国·高一专题练习）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2,3,6，这个长方体外接球的面积是（）A．6πB．4πC．12πD．24π【答案】A【分析】根据题意求出长方体共顶点的三边的长度，然后利用外接球半径的计算公式求出半径，进而求出外接球的表面积.【详解】设长方体共一顶点的三边长分别为,,abc，不妨令abc，由题意可得632abacbc，解得321abc，则长方体的体对角线长度为2226labc，可得外接球半径622lR，所以外接球的面积为24π6πSR.故选：A.练习2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知长方体1111ABCDABCD的底面是边长为22的正方形，若13cos3BAC，则该长方体的外接球的表面积为___________【答案】24π【分析】由余弦定理可求出长方体的高，再由外接球直径为长方体对角线得解.【详解】设长方体的高为c，外接球的半径为R，如图，则12222(22)(22)ACc，1222(22)BCc，22(22)AB，由余弦定理知，11222121163cos234216BACACAACBBABCc，解得22c，所以221(2)24RAC，所以224π(2)π24πSRR.故答案为：24π练习3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知长方体1111ABCDABCD的底面是边长为22的正方形，若13cos,3ABAC，则该长方体的外接球的表面积为__________.【答案】24π【分析】如图连接1BC，即可得到13cos3BAC，利用锐角三角函数求出1CC，即可求出1AC即外接球的直径，再根据球的表面积公式计算可得.【详解】如图连接1BC，因为13cos,3ABAC，所以13cos3BAC，所以211sin1co36sBACBAC，则111sintan2cosBACBACBAC，又22ADAB，所以2221118BCBCCCCC，所以1112tan2228BCACABCCB，所以122CC，所以222122222226AC，即外接球的半径6R，所以外接球的表面积24π24πSR.故答案为：24π练习4．（2023春·吉林长春·高三长春市第二中学校考期中）已知长方体1111ABCDABCD中，3AB，6BC，若1AC与平面11BCCB所成的角的余弦值为63，则该长方体外接球的表面积为（）A．27π2B．27πC．45π2D．45π【答案】B【分析】根据直线与平面所成角的定义得1116cos3BCACBACÐ，即1136BCAC，设1CCx，求出212x，根据该长方体外接球的直径是1AC，可求出2127AC，再根据球的表面积公式可求出结果.【详解】连1BC，因为AB平面11BCCB，所以1ACB是1AC与平面11BCCB所成的角，所以1116cos3BCACBACÐ，所以1136BCAC，设1CCx，则22211BCBCCC，即2216BCx，又222211ACABBCCC，所以2219966BCx，所以229(6)156xx，即212x，所以2118BC，21918276AC，因为该长方体外接球的直径是1AC，所以半径22112744RAC，所以该外接球的表面积为2274π4π27π4R.故选：B练习5．（2023春·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱所组成的公共部分为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π:4，若“牟合方盖”的体积为163，则正方体的体积为______，正方体的外接球的表面积为______.【答案】812π【分析】根据已知求出正方体的内切球的体积，得到内切球的半径，根据正方体内切球的直径为其棱长，外接球的直径为其对角线，即可求解.【详解】因为“牟合方盖”的体积为163，又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π:4，所以正方体的内切球的体积164433πVπ球，所以内切球的半径1r，所以正方体的棱长为2，则正方体的体积328V正方体，所以正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线即223R，所以3R，所以正方体的外接球的表面积为2244312SπRππ．故答案为：8；12π.题型二线面垂直模型例3．（2023·湖南·校联考模拟预测）在直三棱柱111ABCABC-中，已知4ABAC，12AA，90BAC，则该三棱柱外接球的表面积为_______________．【答案】36π【分析】根据直三棱柱的特征及其棱长可知，构造长方体即可求得外接球半径3R，即可求的结果.【详解】如下图所示：由直三棱柱111ABCABC-可知，1AA平面ABC，又90BAC，所以1,,ABACAA两两垂直，设直三棱柱111ABCABC-外接球的半径为R，通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以1,,ABACAA为边长的长方体外接球相同；即可得22224426R，解得3R，所以所求外接球的表面积24π36πSR==．故答案为：36π例4．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）如图，已知二面角l的棱是AB，AC，BD，若2ABAC，3BD，11CD，且ACl，BDl，则二面角l的大小为______，此时，四面体ABCD的外接球的表面积为______．【答案】3/60403/403【分析】把二面角l转化为AC与BD的夹角，由CDCAABBD，利用向量的运算，求得1cos2ACBDuuuruuur，求得二面角l的大小为π3，把三棱锥ABCD补成一个直三棱柱ACFBDE，利用正弦定理求得BDE△外接圆的半径为73r，结合球的截面圆的性质，求得2103R，结合球的表面积公式，即可求解.【详解】空1：由题意知ACl且BDl，根据二面角的平面角的定义，可得向量AC与BD的夹角就是二而角l的平面角，又由CDCAABBD，且2ABAC，3BD和11CD，所以222222()22CDCAABBDCAABBDCAABCABDABBDuuuruuruuuruuuruuruuuruuuruuruuuruuruuuruuuruuur，即11449002CABDuuruuur，化简得3ACBDuuuruuur，即23cos3ACBDACBDuuuruuuruuuruuur，所以1cos2ACBDuuuruuur，又因为[0,π]ACBDuuuruuur，所以π3ACBDuuuruuur，所以二面角l的大小为π3．空2：如图所示，把三棱锥ABCD补成一个直三棱柱ACFBDE，可得三棱锥ABCD的外接球即为直三棱柱ACFBDE的外接球，设外接球的半径为R，底面BDE△的外接圆的半径为r在BDE△中，由π2,3,3BEACBDDBE，可得22π12cos49223732DEBEBDBEBD，由正弦定理得272sin3BErDBE，可得73r，又由球的截面圆的性质，可得222710()1233ABRr，所以三棱锥ABCD的外接球的表面积为21040π4π4π33SR.故答案为：π3；40π3.练习6．（2023春·山东临沂·高三校考期中）在矩形ABCD中，1,2,ABBCPA平面,1ABCDPA，则PC与平面ABCD所成的角是_____．四棱锥PABCD的外接球的表面积为____．【答案】6/304π【分析】先求得PC与平面ABCD所成的角，进而求得其大小；先求得四棱锥PABCD的外接球半径，进而求得其表面积.【详解】四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，则PCA是PC与平面ABCD所成的角，又矩形ABCD中，1,2ABBC，则3AC，又1PA，PAAC，则3tan3PCA，2PC，又π0,2PCA，则π6PCA，则PC与平面ABCD所成的角是π6；四棱锥PABCD可以补形为长方体PBCDABCD，则四棱锥PABCD的外接球的直径为PC，又2PC，则四棱锥PABCD的外接球的半径为1，则四棱锥PABCD的外接球的表面积为4π.故答案为：π6；4π练习7．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）在三棱锥PABC中，AC平面PAB，6ABAC，22BP，45ABP，则三棱锥PABC外接球的表面积为（）A．76πB．128πC．144πD．148π【答案】A【分析】先利用余弦定理求出AP，再利用正弦定理求出PAB外接圆的半径r，设三棱锥PABC外接球的半径为R，再根据2222ACRr结合球的表面积公式即可得解.【详解】在PAB中，2456,2,ABBBPAP，则22222cos3682622202APABBPABBPABP，所以25AP，设PAB外接圆的半径为r，则2210sinAPrABP，所以10r，设PAB外接圆的圆心为1O，三棱锥PABC外接球的球心为O，半径为R，由AC平面PAB，得222109192ACRr，所以三棱锥PABC外接球的表面积为24π76πR.故选：A.练习8．（2023·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，2222ADABBD，现将BCD△沿BD折起，使异面直线CD与AB所成角为60，且ADC为锐角，则折后三棱锥CABD外接球的表面积为_________．【答案】283/283【分析】根据折叠前后的几何性质，将三棱锥CABD补成三棱柱，利用三棱柱的外接球即可求得答案.【详解】由于2222ADABBD，故ABD△和BCD△均是腰长为2的等腰直角三角形，将其补充如图（1）所示的长方形，折后得到图（2）所示的直三棱柱，又由异面直线CD与AB所成角为60，可知60ABE或120，又ADC为锐角，故可知60ABE，则图（2）所示的直三棱柱上下底面均是边长为2的等边三角形，且该三棱柱的外接球即为三棱锥CABD的外接球．设ABE外接圆的半径为r，则1222sin6