专题8.5 球的外接和内切（原卷版）

专题8.5球的外接和内切题型一长（正）方体的外接球题型二线面垂直模型题型三对棱相等模型题型四共斜边模型题型五球心在外心正上方模型题型六面面垂直模型题型七折叠模型题型八外接球的最值问题题型九内切球题型一长（正）方体的外接球例1．（2023·河南·校联考模拟预测）棱长为2的正方体1111-ABCDABCD的外接球的球心为O，则四棱锥OABCD的体积为（）A．23B．43C．2D．83例2．（2023·江苏·高一专题练习）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（）A．9π2B．33πC．9D．27π练习1．（2023·全国·高一专题练习）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2,3,6，这个长方体外接球的面积是（）A．6πB．4πC．12πD．24π练习2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知长方体1111ABCDABCD的底面是边长为22的正方形，若13cos3BAC，则该长方体的外接球的表面积为___________练习3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知长方体1111ABCDABCD的底面是边长为22的正方形，若13cos,3ABAC，则该长方体的外接球的表面积为__________.练习4．（2023春·吉林长春·高三长春市第二中学校考期中）已知长方体1111ABCDABCD中，3AB，6BC，若1AC与平面11BCCB所成的角的余弦值为63，则该长方体外接球的表面积为（）A．27π2B．27πC．45π2D．45π练习5．（2023春·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱所组成的公共部分为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π:4，若“牟合方盖”的体积为163，则正方体的体积为______，正方体的外接球的表面积为______.题型二线面垂直模型例3．（2023·湖南·校联考模拟预测）在直三棱柱111ABCABC-中，已知4ABAC，12AA，90BAC，则该三棱柱外接球的表面积为_______________．例4．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）如图，已知二面角l的棱是AB，AC，BD，若2ABAC，3BD，11CD，且ACl，BDl，则二面角l的大小为______，此时，四面体ABCD的外接球的表面积为______．练习6．（2023春·山东临沂·高三校考期中）在矩形ABCD中，1,2,ABBCPA平面,1ABCDPA，则PC与平面ABCD所成的角是_____．四棱锥PABCD的外接球的表面积为____．练习7．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）在三棱锥PABC中，AC平面PAB，6ABAC，22BP，45ABP，则三棱锥PABC外接球的表面积为（）A．76πB．128πC．144πD．148π练习8．（2023·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD中，2222ADABBD，现将BCD△沿BD折起，使异面直线CD与AB所成角为60，且ADC为锐角，则折后三棱锥CABD外接球的表面积为_________．练习9．（2023春·全国·高三专题练习）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面,1,2,3ABCDPAABAD，点E为BC上靠近B的三等分点，则三棱锥PADE外接球的表面积为（）A．11πB．12πC．14πD．16练习10．（2023春·安徽·高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知三棱锥PABC的体积为6，且236PAPBPC.则该三棱锥外接球的表面积为______.题型三对棱相等模型例5．（2022春·河北石家庄·高二石家庄一中校考阶段练习）已知三棱锥ABCD中，2ABCD，3ACBCADBD，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为______.例6．（2022春·山西朔州·高二朔州市朔城区第一中学校校考期末）已知,,,ABCD四点在半径为522的球面上，且5ACBD，41ADBC，ABCD，则三棱锥DABC的体积是__________．练习11．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥ABCD中，对棱22ABCD，5ADBC，5ACBD，则该三棱锥的外接球体积为________，内切球表面积为________.练习12．（2023·全国·高三专题练习）在四面体ABCD中，7,29,27ABCDADBCACBD，则四面体ABCD外接球表面积是（）A．64πB．32πC．256πD．256π3练习13．（2023·全国·高三专题练习）四面体ABCD中，5ABCD，6BCACADBD，则此四面体外接球的表面积为_____．练习14．（2022秋·天津和平·高三天津二十中校考期中）已知A、B、C、D四点在半径为522的球面上，且5ACBD，41ADBC，ABCD，则三棱锥DABC的体积是______．练习15．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知三棱锥ABCD中，,ABCDACBDaADBCb，若,,,ABCD均在半径为2的球面上，则ab的最大值为_________．题型四共斜边模型例7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点,AB,,CP，4,2,,ACBCPAACBCPA平面ABC，则该鞠（球）的表面积为（）A．49πB．64πC．36πD．16π例8．（2022·贵州贵阳·高一阶段练习）已知三棱锥PABC，在底面ABC中，60,3,2ABCAC，PA面ABC，23PA，则此三棱锥的外接球的表面积为A．163B．43C．16D．323练习16．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知ABCD、、、为球O的表面的四个点，DA平面ABC，1ABBCDAABBC，，则球O的表面积等于__________.练习17．（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥SABC中，SA平面ABC，ABBC，SAABBC．过点A分别作AESB，AFSC交SBSC、于点EF、，记三棱锥SFAE的外接球表面积为1S，三棱锥SABC的外接球表面积为2S，则12SS（）A．33B．13C．22D．12练习18．（2023·河南开封·校考模拟预测）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，23BE．N为AF的中点，23EMEF，则三棱锥MBNC外接球的表面积为（）A．25πB．13πC．25π4D．103π练习19．（2022·全国·高三校联考专题练习）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA平面ABCE，四边形ABCD为正方形，2AD，1ED，若鳖臑PADE的外接球的体积为7143，则阳马PABCD的外接球的表面积等于A．15πB．16πC．17πD．18π练习20．（2021·天津蓟州·天津市蓟州区第一中学校考模拟预测）已知三棱锥PABC的各顶点都在同一球面上，且PA平面ABC，若该棱锥的体积为233，2AB，1AC，60BAC，则此球的表面积等于（）A．5B．8C．16D．20题型五球心在外心正上方模型例9．（2023·全国·校联考二模）在正四棱台1111ABCDABCD中，上､下底面边长分别为3242､，该正四棱台的外接球的表面积为100π，则该正四棱台的高为__________.例10．（2023春·高一课时练习）正四面体ABCD内接于半径为R的球，求正四面体的棱长.练习21．（2022春·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为423，则该四棱锥的外接球的体积为_________．练习22．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）埃及金字塔是地球上的古文明之一，随着科技的进步，有人幻想将其中一座金字塔整体搬运到月球上去，为了便于运输，某人设计的方案是将它放入一个金属球壳中，已知某座金字塔是棱长均为20m的正四棱锥，那么设计的金属球壳的表面积最小值为_____________2m．（注：球壳厚度不计）.练习23．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）（多选）正三棱锥PABC的底面边长为3，高为6，则下列结论正确的是（）A．ABPCB．三棱锥PABC的表面积为93C．三棱锥PABC的外接球的表面积为27πD．三棱锥PABC的内切球的表面积为3π2练习24．（2023·海南海口·统考模拟预测）在正三棱锥SABC中，223SAAB，则该三棱锥外接球的表面积为______.练习25．（2023·全国·校联考模拟预测）在正三棱锥P-ABC中，D，E分别为侧棱PB，PC的中点，若ADBE，且7AD，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（）A．354B．725C．1087D．1529题型六面面垂直模型例11．（2023春·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）三棱锥PABC中，2ABAC，平面PBC平面ABC，π2BPC．若三棱锥PABC的外接球体积的取值范围是32π32π,393，则BAC的取值范围是（）A．π0,3B．ππ,32C．π2π,23D．π2π,33例12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知四面体ABCD的顶点都在球О的表面上，平面ABC平面BCD，2BC，ABC为等边三角形，且=90BDC，则球O的表面积为_______.练习26．（2023·山东烟台·统考二模）（多选）三棱锥VABC中，底面ABC、侧面VAC均是边长为2的等边三角形，面ABC面VAC，P为AC的中点，则（）．A．VBACB．VA与BC所成角的余弦值为12C．点P到VB的距离为62D．三棱锥VABC外接球的表面积为20π3练习27．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）在四棱锥SABCD中，侧面SAD底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为23的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（）A．5πB．10πC．28πD．16π练习28．（2023秋·云南昆明·高二统考期末）已知长方体1111ABCDABCD的体积为16，122ABAABC，1AD与1AD相交于点E，则三棱锥EACD的外接球的表面积为（）A．12πB．16πC．18πD．20π练习29．（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）在菱形ABCD中，2AB，60A，将BCD△绕对角线BD所在直线旋转至BPD，使得6AP，则三棱锥PABD的外接球的表面积为（）A．8π3B．20π3C．2015π27D．25π3练习30．（2023春·河南商丘·高一商丘市实验中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥PABCD中，平面PCD平面ABCD，底面ABCD为矩形，且2PCPDBC．若PB与平面ABCD所成的角为π6，则四棱锥PABCD外接球的表面积为______．题型七折叠模型例13．（2023·全国·高一专题练习）已知等边ABC的边长为2，将